卡迪森-辛格問題

数学上，卡迪森-辛格問題（英語：Kadison–Singer problem）於1959年提出，有關泛函分析^[1]，問某個特定C*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。

問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，理查德·卡迪森（英语：Richard Kadison）與艾沙道尔·辛格^[2]給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。^[3][4]卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一）^[3][4]，然而於2013年，亞當·馬庫斯（英语：Adam Marcus (mathematician)）、丹尼爾·斯皮爾曼（英语：Daniel Spielman）、尼基·斯里瓦斯塔瓦（英语：Nikhil Srivastava）合著論文^[5]給出肯定的答案。翌年，三人因此獲SIAM（英语：Society for Industrial and Applied Mathematics）頒發波利亞獎（英语：George Pólya Prize）。^[6]

馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。^[1]:83馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」^[1]:86。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。^[1]:84安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。^[1]:85而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。^[7]

原問題敍述

先引入若干定義：

${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}}$ 

平方可和的複序列空間（英语：Sequence space），即${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}}$ 。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$ 給出。

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}$ 

從${\displaystyle \ell ^{2}}$ 到${\displaystyle \ell ^{2}}$ 的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代数。

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}$ 

從${\displaystyle \ell ^{2}}$ 到${\displaystyle \ell ^{2}}$ 的對角連續線性算子集合。換言之，${\displaystyle D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}}$ 。${\displaystyle D(\ell ^{2})}$ 包含於${\displaystyle B(\ell ^{2})}$ ，故為其子C*-代数。

態

C*-代數${\displaystyle A}$ 上的態（英语：state (functional analysis)），是連續線性泛函${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$ ，將單位元${\displaystyle I}$ 映到${\displaystyle 1}$ ，且對任意半正定的${\displaystyle T\geq 0}$ ，有${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$ （即此時${\displaystyle \varphi (T)}$ 要取實值，且該實值為非負）。

純態

接續上項，${\displaystyle \varphi }$ 稱為純態，意思是在${\displaystyle A}$ 上所有態組成的集合中，${\displaystyle \varphi }$ 是極端點（英语：Extreme point），即不能寫成其他態的凸組合。

由哈恩-巴拿赫定理，${\displaystyle D(\ell ^{2})}$ 上的任意泛函，必能延拓到${\displaystyle B(\ell ^{2})}$ 上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題：

對${\displaystyle D(\ell ^{2})}$ 上的任意純態${\displaystyle \varphi }$ ，${\displaystyle B(\ell ^{2})}$ 上都存在唯一的態${\displaystyle \psi }$ ，使${\displaystyle \psi }$ 延拓${\displaystyle \varphi }$ ，即兩者限制到${\displaystyle D}$ 時等同。

此命題已證為真。^[5]

鋪砌猜想敍述

卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真：^[8]

對任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，存在正整數${\displaystyle k}$ 使得：對每個${\displaystyle n}$ ，以及對${\displaystyle n}$ 維希爾伯特空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上的每個線性算子${\displaystyle T}$ （可視為${\displaystyle n\times n}$ 方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ 分劃為${\displaystyle k}$ 份${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$ ，使得

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|}$  對於每個 ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$  都成立。

此處${\displaystyle P_{A_{j}}}$ 是正交投影，將${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ （坐標以${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ 為下標）映到坐標僅以${\displaystyle A_{j}}$ 元素為下標的子空間。換言之，${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$ 是下標為${\displaystyle A_{j}}$ 元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數${\displaystyle \|\cdot \|}$ 取為譜範數，即來自${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 上歐氏範數的算子范数。

注意命題中，${\displaystyle k}$ 只能與${\displaystyle \varepsilon }$ 有關，但不取決於${\displaystyle n}$ 。

偏差敍述

尼克·威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論（英语：discrepancy theory）」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價：^[9]

設有向量${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$ ，滿足${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$ （${\displaystyle d\times d}$ 單位方陣），且對每個${\displaystyle i}$ ，${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$ 。則存在一種方法將${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ 分劃成兩個子集${\displaystyle S_{1}}$ 和${\displaystyle S_{2}}$ ，使得對於${\displaystyle j=1,2}$ 都有

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.}$ 

馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論：

設向量${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$ 滿足${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$ （對所有${\displaystyle i}$ ），還有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1}$  對滿足${\displaystyle \|x\|=1}$ 的所有向量${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ 成立。

則可以將${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ 分劃成兩個子集${\displaystyle S_{1}}$ 、${\displaystyle S_{2}}$ ，使得對${\displaystyle j=1,2}$ ，以及滿足${\displaystyle \|x\|=1}$ 的任意向量${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ ，皆有：

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.}$ 

「偏差」一詞的含義，在${\displaystyle \alpha }$ 較小時顯明：在單位球面上取值恆為${\displaystyle 1}$ 的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離${\displaystyle 1/2}$ 的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。^[7]

參考文獻

1. Erica Klarreich（英语：Erica Klarreich）; 赵京（译）. 外行人破解困扰数学界50年的难题. 数学文化 (香港: 全球科学出版社). 2017, 8 (3): 82–86 [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. （原始内容于2021-10-19）. 
2. Kadison, R.; Singer, I. Extensions of pure states [純態的延拓]. American Journal of Mathematics（英语：American Journal of Mathematics）. 1959, 81 (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 （英语）. 
3. Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E. The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account [數學與工程學的卡迪森-辛格問題：詳解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (编). Operator theory, operator algebras, and applications [算子理論、算子代數、應用]. Contemporary Mathematics 414. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024  . doi:10.1090/conm/414/07820 （英语）. 
4. Casazza, Peter G. Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem [卡迪森-辛格問題的馬庫斯/斯皮爾曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推論]. 2015. arXiv:1407.4768   [math.FA] （英语）. 
5. Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil. Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem [相交族之二：混合特徵多項式與卡迪森-辛格問題]. 2013. arXiv:1306.3969   [math.CO] （英语）. 
6. Rob Knies. Conjecture Proof Leads to Pólya Prize [因證明猜想獲波利亞獎] (網誌). Microsoft Research Blog. 2014-07-09 [2021-10-16]. （原始内容于2021-10-20） （英语）. 
7. Srivastava, Nikhil. Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem [偏差、圖、卡迪森-辛格問題] (網誌). Windows on Theory. July 11, 2013 [2021-10-16]. （原始内容于2021-04-13） （英语）. 
8. Anderson, Joel. Restrictions and representations of states on C∗-algebras [C*-代數上，態的限制與表示]. Transactions of the American Mathematical Society. 1979, 249 (2): 303–329 [2021-10-16]. JSTOR 1998793. MR 0525675. doi:10.2307/1998793. （原始内容于2021-10-16） （英语）. 
9. Weaver, Nik. The Kadison-Singer problem in discrepancy theory [偏差理論中的卡迪森-辛格問題]. Discrete Mathematics. 2004, 278 (1–3): 227–239. arXiv:math/0209078  . doi:10.1016/S0012-365X(03)00253-X （英语）. 

外部鏈結

• Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森-辛格問題與鋪砌猜想的介紹] (PDF). 2013-07-11 [2021-10-16]. （原始内容 (PDF)于2021-10-21） （英语）. 
• 陶哲軒. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [實穩定多項式與卡迪森-辛格問題] (網誌). 2013-11-04 [2021-10-16]. （原始内容于2022-01-19） （英语）.