单位球面, 数学上, 是到固定中心点距离为1的点的集合, 其中距离可以是任何推广了的距离概念, 单位球是所包围的区域, 通常一个特定的点被表示为所研究的空间的原点, 并且或单位球通常以该点为中心, 因此通常单位球或者就是指以原点为中心的单位球或球面, 一些单位球就是半径1的球面, 单位球的重要之处是任何球面可以通过平移和缩放的组合来变换为单位圆, 这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究, 目录, 欧氏空间的单位球, 一般的面积和体积公式, 赋范向量空间中的单位球, 讨论, 推广, 度量空间, 二次型, 参. 数学上 单位球面是到固定中心点距离为1的点的集合 其中距离可以是任何推广了的距离概念 单位球是单位球面所包围的区域 通常一个特定的点被表示为所研究的空间的原点 并且单位球面或单位球通常以该点为中心 因此通常单位球或者单位球面就是指以原点为中心的单位球或球面 一些单位球单位球面就是半径1的球面 单位球的重要之处是任何球面可以通过平移和缩放的组合来变换为单位圆 这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究 目录 1 欧氏空间的单位球 1 1 一般的面积和体积公式 2 赋范向量空间中的单位球 2 1 讨论 3 推广 3 1 度量空间 3 2 二次型 4 参看欧氏空间的单位球 编辑n维欧氏空间中 单位球面是所有满足如下方程的点x 1 x n displaystyle x 1 cdots x n nbsp 的集合 x 1 2 x 2 2 x n 2 1 displaystyle x 1 2 x 2 2 cdots x n 2 1 nbsp 而闭单位球是所有满足如下不等式的点的集合 x 1 2 x 2 2 x n 2 1 displaystyle x 1 2 x 2 2 cdots x n 2 leq 1 nbsp 一般的面积和体积公式 编辑 n 维欧氏空间的单位球体积 和单位球面的面积 出现在很多数学分析的公式中 n维空间中的单位球面的表面积 经常记为w n displaystyle omega n nbsp 可以用G函数表示 它是 w n 2 p n 2 G n 2 displaystyle omega n frac 2 pi frac n 2 Gamma frac n 2 nbsp 单位球的体积则是w n n displaystyle frac omega n n nbsp 赋范向量空间中的单位球 编辑精确一点的说 赋范向量空间V displaystyle V nbsp 中的开单位球 设范数为 displaystyle cdot nbsp 由下式表示 x V x lt 1 displaystyle x in V x lt 1 nbsp 它位于 V displaystyle V left Vert cdot right Vert nbsp 中的闭单位球的内部 x V x 1 displaystyle x in V x leq 1 nbsp 后者是前者和它们的公共边界 V displaystyle V left Vert cdot right Vert nbsp 的单位球面的不交并集 x V x 1 displaystyle x in V x 1 nbsp 讨论 编辑 单位球的形状完全取决于所选的范数 它可能有角 例如它可以看起来象 1 1 n displaystyle 1 1 n nbsp 也就是在选取R n displaystyle R n nbsp 中的范数l displaystyle l infty nbsp 的情况 圆球可以理解为一般的希尔伯特空间范数的情况 在有限维的情况中依赖于欧氏距离 它的边界就是通常所指的单位球面 推广 编辑度量空间 编辑 上面的三个定义都可以直接推广到度量空间中相对于某个原点的相应概念 但是 拓扑上的考虑 内部 闭包 边界 不一定可以同样的推广 例如 在超度量空间 所有三者同时是即开且闭集合 而单位球在某些度量空间甚至可能是空集 二次型 编辑 若V displaystyle V nbsp 是有实二次型F V R displaystyle F V rightarrow R nbsp 的线性空间 则 x V F x 1 displaystyle x in V F x 1 nbsp 有时称为V displaystyle V nbsp 的单位球面 二维的例子有双曲复数和对偶数 当F displaystyle F nbsp 可以取负值时 则 x V F x 1 displaystyle x in V F x 1 nbsp 称为反球面 参看 编辑单位圆 单位正方形 单位圆盘 球面 球 数学 数学符号表 取自 https zh wikipedia org w index php title 单位球面 amp oldid 75837065, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,