Lidl, R. and Pilz, G., 1998, Applied abstract algebra, 2nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0-387-98290-6
外部連結
"Transitive closure and reduction (页面存档备份,存于互联网档案馆)", The Stony Brook Algorithm Repository, Steven Skiena .
一月 10, 2023
传递闭包, 此條目介紹的是二元关系的, 关于集合的, 请见, 传递集合, 此條目翻譯品質不佳, 2017年4月14日, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 数学中, 集合x上的二. 此條目介紹的是二元关系的传递闭包 关于集合的传递闭包 请见 传递集合 此條目翻譯品質不佳 2017年4月14日 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 数学中 集合X上的二元关系 R 的传递闭包是包含R的X上的最小的遞移關係 例如 如果 X 是由人组成的集合 不论人活着与否 而R是关系 为父子 则 R 的传递闭包是关系 x 是 y 的祖先 再比如 如果 X 是空港的集合而关系 xRy 为 从空港 x 到空港 y 有直航 则 R 的传递闭包是 可能经一次或多次航行从 x 飞到 y 目录 1 存在性和描述 2 证实 T 是包含 R 的最小传递关系 2 1 推论 3 用途 4 与复杂性的关系 5 有关概念 6 算法 7 引用 8 外部連結存在性和描述 编辑对于任何关系 R R 的传递闭包总是存在的 传递关系的任何家族的交集也是传递的 进一步地 至少存在一个包含 R 的传递关系 也就是平凡的 X X R 传递闭包给出自包含 R 的所有传递关系的交集 我们可以用更具体术语来描述 R 的传递闭包如下 定义在 X 上的一个关系 T 称 xTy 当且仅当存在有限的元素 xi 序列 使得 x x0 并且 x0Rx1 x1Rx2 xn 1Rxn 和 xnRy形式上写为 T i w R i displaystyle T bigcup i in omega R i 容易检查出关系 T 是传递的并且包含 R 进一步地 任何包含 R 的传递关系也包含 T 所以 T 是 R 的传递闭包 证实 T 是包含 R 的最小传递关系 编辑设 A 是任何元素的集合 假定 displaystyle exists GA 传递关系 RA displaystyle subseteq GA displaystyle wedge TA displaystyle not subseteq GA 所以 displaystyle exists a b displaystyle not in GA displaystyle wedge a b displaystyle in TA 所以 特定的 a b displaystyle not in RA 现在通过 T 的定义 我们知道了 displaystyle exists n N displaystyle in mathbb N a b displaystyle in RnA 接着 displaystyle forall i N displaystyle in mathbb N i lt displaystyle lt n displaystyle Rightarrow ei displaystyle in A 所以 有从 a 到 b 路径如下 aRAe1RA RAe n 1 RAb 但是 通过 GA 在 RA 上的传递性 displaystyle forall i N displaystyle in mathbb N i lt displaystyle lt n displaystyle Rightarrow a ei displaystyle in GA 所以 a e n 1 displaystyle in GA displaystyle wedge e n 1 b displaystyle in GA 所以通过 GA 的传递性 我们得到了 a b displaystyle in GA 矛盾于 a b displaystyle not in GA 因此 displaystyle forall a b displaystyle in A displaystyle times A a b displaystyle in TA displaystyle Rightarrow a b displaystyle in GA 这意味着 T displaystyle subseteq G 对于任何包含 R 的传递的 G 所以 T 是包含 R 的最小传递闭包 推论 编辑 如果 R 是传递的 则 R T 用途 编辑注意两个传递关系的并集不必须是传递的 为了保持传递性 必须采用传递闭包 例如在取两个等价关系或预序的并的时候 为了获得新的等价关系或预序 必须选用传递闭包 自反性和对称性在等价关系的情况下是自动的 有向无环图 DAG 的传递闭包是 DAG 的可到达性关系和一个严格偏序 与复杂性的关系 编辑在计算复杂性理论中 复杂度类 NL 严格对应于可使用一阶逻辑和传递闭包表达的逻辑句子的集合 这是因为传递闭包性质有密切关系于 NL 完全问题 STCON 找到在一个图中的有向路径 类似的 类 L 是一阶逻辑带有交换传递闭包 在向二阶逻辑增加了传递闭包的时候 我们得到 PSPACE 有关概念 编辑关系 R 的传递简约是有 R 作为它的传递闭包的最小关系 一般来说它不唯一 算法 编辑计算图的传递闭包的有效算法可见于 here 页面存档备份 存于互联网档案馆 最简单的技术是Floyd Warshall算法 引用 编辑Lidl R and Pilz G 1998 Applied abstract algebra 2nd edition Undergraduate Texts in Mathematics Springer ISBN 0 387 98290 6外部連結 编辑 Transitive closure and reduction 页面存档备份 存于互联网档案馆 The Stony Brook Algorithm Repository Steven Skiena 取自 https zh wikipedia org w index php title 传递闭包 amp oldid 71424523, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,