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參考文獻编辑
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十二月 02, 2023
相互作用繪景, 在量子力學裏, interaction, picture, 是在薛丁格繪景與海森堡繪景之間的一種表述, 為紀念物理學者保羅, 狄拉克而又命名為狄拉克繪景, 在這繪景裏, 描述量子系統的態向量與表達可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化, 有些實際案例會涉及到因相互作用而使得量子態與可觀察量發生改變, 這類案例通常會使用狄拉克繪景, 保羅, 狄拉克狄拉克繪景與薛丁格繪景, 海森堡繪景不同, 在薛丁格繪景裏, 描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化, 在海森堡繪景裏, 表達可觀察量的算符會隨著時間流易而演. 在量子力學裏 相互作用繪景 interaction picture 是在薛丁格繪景與海森堡繪景之間的一種表述 為紀念物理學者保羅 狄拉克而又命名為狄拉克繪景 在這繪景裏 描述量子系統的態向量與表達可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化 有些實際案例會涉及到因相互作用而使得量子態與可觀察量發生改變 這類案例通常會使用狄拉克繪景 保羅 狄拉克狄拉克繪景與薛丁格繪景 海森堡繪景不同 在薛丁格繪景裏 描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化 在海森堡繪景裏 表達可觀察量的算符會隨著時間流易而演化 這三種繪景殊途同歸 所獲得的結果完全一致 這是必然的 因為它們都是在表達同樣的物理行為 1 80 84 2 3 目录 1 定義 1 1 態向量 1 2 算符 1 2 1 哈密頓算符 1 2 2 密度矩陣 2 時間演化方程式 2 1 量子態的時間演化 2 2 算符的時間演化 2 3 密度矩陣的時間演化 3 狄拉克繪景的應用 4 各種繪景比較摘要 5 參閱 6 註釋 7 註釋 8 參考文獻定義 编辑為了便利分析 位於下標的符號H displaystyle mathcal H nbsp I displaystyle mathcal I nbsp S displaystyle mathcal S nbsp 分別標記海森堡繪景 狄拉克繪景 薛丁格繪景 通過對於基底的一種幺正變換 英语 unitary transformation 算符和態向量在狄拉克繪景裏的形式與在薛丁格繪景裏的形式相關聯 在量子力學裏 對於大多數案例的哈密頓量 通常無法找到薛丁格方程式的精確解 只有少數案例可以找到精確解 因此 為了要能夠解析其它沒有精確解的案例 必須將薛丁格繪景裏的哈密頓量H S displaystyle H mathcal S nbsp 分成兩個部分 1 337 339 H S H 0 S H 1 S displaystyle H mathcal S H 0 mathcal S H 1 mathcal S nbsp 其中 H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 有精確解 有廣泛知悉的物理行為 而H 1 S displaystyle H 1 mathcal S nbsp 則通常沒有精確解 是對於系統的微擾 假若哈密頓量H S displaystyle H mathcal S nbsp 含時 例如 感受到時變外電場作用的量子系統 其哈密頓量會含時 則通常會將顯性含時部分放在H 1 S displaystyle H 1 mathcal S nbsp 裏 這樣 H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 不含時 而時間演化算符U t displaystyle U t nbsp 的公式可以簡單地表示為 U t e i H 0 S t ℏ displaystyle U t e iH 0 mathcal S t hbar nbsp 其中 t displaystyle t nbsp 是時間 假若對於某些案例 H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 應該設定為含時 則時間演化算符的公式會變得較為複雜 1 70 71 U t e i ℏ 0 t H 0 S t d t displaystyle U t e frac i hbar int limits 0 t H 0 mathcal S t dt nbsp 本條目以下內容假設H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 不含時 態向量 编辑 在狄拉克繪景裏 態向量 ps t I displaystyle psi t rangle mathcal I nbsp 定義為 ps t I d e f e i H 0 S t ℏ ps t S displaystyle psi t rangle mathcal I stackrel def e iH 0 mathcal S t hbar psi t rangle mathcal S nbsp 其中 ps t S displaystyle psi t rangle mathcal S nbsp 是在薛丁格繪景裏的態向量 由於在薛丁格繪景裏 態向量 ps t S displaystyle psi t rangle mathcal S nbsp 與時間的關係為 ps t S e i H S t ℏ ps 0 S displaystyle psi t rangle mathcal S e iH mathcal S t hbar psi 0 rangle mathcal S nbsp 所以 在H 0 S H S displaystyle H 0 mathcal S H mathcal S nbsp 对易的條件下 可以有 ps t I e i H 1 S t ℏ ps 0 S displaystyle psi t rangle mathcal I e iH 1 mathcal S t hbar psi 0 rangle mathcal S nbsp 算符 编辑 在狄拉克繪景裏的算符A I t displaystyle A mathcal I t nbsp 定義為 A I t e i H 0 S t ℏ A S t e i H 0 S t ℏ displaystyle A mathcal I t e iH 0 mathcal S t hbar A mathcal S t e iH 0 mathcal S t hbar nbsp 其中 A S t displaystyle A mathcal S t nbsp 是在薛丁格繪景裏對應的算符 請注意 A S t displaystyle A mathcal S t nbsp 通常不含時間 可以重寫為A S displaystyle A mathcal S nbsp 反例 對於時變外電場的狀況 哈密頓算符H S t displaystyle H mathcal S t nbsp 含時 哈密頓算符 编辑 假若H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 不含時 則H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 與e i H 0 S t ℏ displaystyle e iH 0 mathcal S t hbar nbsp 對易 不論在薛丁格繪景裏或在狄拉克繪景裏 H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 與H 0 I displaystyle H 0 mathcal I nbsp 的形式都是一樣 註 1 H 0 I t e i H 0 S t ℏ H 0 S e i H 0 S t ℏ H 0 S displaystyle H 0 mathcal I t e iH 0 mathcal S t hbar H 0 mathcal S e iH 0 mathcal S t hbar H 0 mathcal S nbsp 所以 算符H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 與H 0 I displaystyle H 0 mathcal I nbsp 都可以簡略標記為H 0 displaystyle H 0 nbsp 不會造成歧意 哈密頓算符的微擾成分H 1 I displaystyle H 1 mathcal I nbsp 是 H 1 I t e i H 0 S t ℏ H 1 S e i H 0 S t ℏ displaystyle H 1 mathcal I t e iH 0 mathcal S t hbar H 1 mathcal S e iH 0 mathcal S t hbar nbsp 除非對易關係式 H 1 S H 0 S 0 displaystyle H 1 mathcal S H 0 mathcal S 0 nbsp 在狄拉克繪景裏 H 1 I displaystyle H 1 mathcal I nbsp 含時 密度矩陣 编辑 與算符類似 在薛丁格繪景裏的密度矩陣也可以變換到在狄拉克繪景裏 設定r I displaystyle rho mathcal I nbsp 和r S displaystyle rho mathcal S nbsp 分別為在狄拉克繪景裏和在薛丁格繪景裏的密度矩陣 假若 處於量子態 ps n displaystyle psi n rangle nbsp 的機率是p n displaystyle p n nbsp 則 r I t n p n ps n t I I ps n t n p n e i H 0 S t ℏ ps n t S S ps n t e i H 0 S t ℏ e i H 0 S t ℏ r S t e i H 0 S t ℏ displaystyle begin aligned rho mathcal I t amp sum n p n psi n t rangle mathcal I mathcal I langle psi n t amp sum n p n e iH 0 mathcal S t hbar psi n t rangle mathcal S mathcal S langle psi n t e iH 0 mathcal S t hbar amp e iH 0 mathcal S t hbar rho mathcal S t e iH 0 mathcal S t hbar end aligned nbsp 時間演化方程式 编辑本文以下內容 算符H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 與H 0 I displaystyle H 0 mathcal I nbsp 都簡略標記為H 0 displaystyle H 0 nbsp 1 337 339 量子態的時間演化 编辑 從態向量的定義式 可以得到態向量對於時間的導數是 i ℏ d d t ps t I e i H 0 t ℏ H 0 ps t S i ℏ d d t ps t S e i H 0 t ℏ H 0 ps t S H S ps t S e i H 0 t ℏ H 1 S ps t S e i H 0 t ℏ H 1 S e i H 0 t ℏ ps t I displaystyle begin aligned i hbar frac d dt psi t rangle mathcal I amp e iH 0 t hbar left H 0 psi t rangle mathcal S i hbar frac d dt psi t rangle mathcal S right amp e iH 0 t hbar left H 0 psi t rangle mathcal S H mathcal S psi t rangle mathcal S right amp e iH 0 t hbar H 1 mathcal S psi t rangle mathcal S amp e iH 0 t hbar H 1 mathcal S e iH 0 t hbar psi t rangle mathcal I end aligned nbsp 將算符的定義式代入 可以得到 i ℏ d d t ps t I H 1 I ps t I displaystyle i hbar frac d dt psi t rangle mathcal I H 1 mathcal I psi t rangle mathcal I nbsp 這是施溫格 朝永振一郎方程式 英语 Schwinger Tomonaga equation 的一個較為簡單的形式 4 153 155 算符的時間演化 编辑 假若算符A S displaystyle A mathcal S nbsp 不含時 則其對應的A I t displaystyle A mathcal I t nbsp 的時間演化為 i ℏ d d t A I t i ℏ d d t e i H 0 t ℏ A S e i H 0 t ℏ H 0 e i H 0 t ℏ A S e i H 0 t ℏ e i H 0 t ℏ A S e i H 0 t ℏ H 0 A I t H 0 H 0 A I t A I t H 0 displaystyle begin aligned i hbar frac d dt A mathcal I t amp i hbar frac d dt e iH 0 t hbar A mathcal S e iH 0 t hbar amp H 0 e iH 0 t hbar A mathcal S e iH 0 t hbar e iH 0 t hbar A mathcal S e iH 0 t hbar H 0 amp A mathcal I t H 0 H 0 A mathcal I t amp left A mathcal I t H 0 right end aligned nbsp 這與在海森堡繪景裏 算符A H t displaystyle A mathcal H t nbsp 的時間演化類似 i ℏ d d t A H t A H t H displaystyle i hbar frac d dt A mathcal H t left A mathcal H t H right nbsp 密度矩陣的時間演化 编辑 應用施溫格 朝永振一郎方程式於密度矩陣 則可得到 i ℏ d d t r I t H 1 I t r I t displaystyle i hbar frac d dt rho mathcal I t left H 1 mathcal I t rho mathcal I t right nbsp 狄拉克繪景的應用 编辑應用狄拉克繪景的目的是促使H 0 displaystyle H 0 nbsp 與時間無關 只有H 1 I t displaystyle H 1 mathcal I t nbsp 與時間有關 也只有H 1 I t displaystyle H 1 mathcal I t nbsp 控制態向量隨時間流易的演化行為 假若H 0 displaystyle H 0 nbsp 有精確解 而H 1 S t displaystyle H 1 mathcal S t nbsp 是一個弱小的微擾 則可很便利地採用狄拉克繪景 使用時變微擾理論來計算H 1 S t displaystyle H 1 mathcal S t nbsp 所產生對於整個系統的影響 例如 在費米黃金定則的導引裏 1 359 363 或在推導戴森級數 英语 Dyson series 時 1 355 357 通常都會用到狄拉克繪景 各種繪景比較摘要 编辑各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化 1 86 89 337 339 演化 海森堡繪景 交互作用繪景 薛丁格繪景右矢 常定 ps t I e i H 0 t ℏ ps t S displaystyle psi t rangle mathcal I e iH 0 t hbar psi t rangle mathcal S nbsp ps t S e i H t ℏ ps 0 S displaystyle psi t rangle mathcal S e iHt hbar psi 0 rangle mathcal S nbsp 可觀察量 A H t e i H t ℏ A S e i H t ℏ displaystyle A mathcal H t e iHt hbar A mathcal S e iHt hbar nbsp A I t e i H 0 t ℏ A S e i H 0 t ℏ displaystyle A mathcal I t e iH 0 t hbar A mathcal S e iH 0 t hbar nbsp 常定密度算符 常定 r I t e i H 0 t ℏ r S t e i H 0 t ℏ displaystyle rho mathcal I t e iH 0 t hbar rho S t e iH 0 t hbar nbsp r S t e i H t ℏ r S 0 e i H t ℏ displaystyle rho mathcal S t e iHt hbar rho mathcal S 0 e iHt hbar nbsp 參閱 编辑狄拉克標記 朱利安 施溫格 朝永振一郎註釋 编辑 在狄拉克繪景裏 H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 也可能含時 假設H 0 S displaystyle H 0 mathcal S nbsp 含時並且對易 則時間演化算符U t displaystyle U t nbsp 的公式不再是 1 70 71U t e i H 0 S t ℏ displaystyle U t e pm iH 0 mathcal S t hbar nbsp 而應改為 U t e i ℏ 0 t H t d t displaystyle U t e i hbar int limits 0 t H t dt nbsp 註釋 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 Sakurai J J Napolitano Jim Modern Quantum Mechanics 2nd Addison Wesley 2010 ISBN 978 0805382914 Parker C B McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd Mc Graw Hill 1994 786 1261 ISBN 0 07 051400 3 Y Peleg R Pnini E Zaarur E Hecht Quantum mechanics Schuam s outline series 2nd McGraw Hill 2010 70 ISBN 9 780071 623582 Ian J R Aitchison Anthony J G Hey Gauge Theories in Particle Physics A Practical Introduction Volume 1 From Relativistic 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