狄拉克符号

狄拉克符号或狄拉克標記（英語：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的態向量，定义为右矢（ket）：${\displaystyle |\psi \rangle }$；每一个右矢的共軛轉置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。

此標記法為狄拉克於1939年将「bracket」（括号）这个词拆开后所造的。^[1]在中國方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

矩陣表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$ 

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ ，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$  （${\displaystyle \delta _{ij}}$ 为克罗内克函數）

相同的态矢量内积为：${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}}$ 。

性質

因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量，而每個右矢-左矢關係是內積，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$ 、右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ 以及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ，還有複數c₁及c₂，則既然左矢是線性泛函，根據線性泛函的加法與純量乘法的定義，

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$ 。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$ 、左矢${\displaystyle \langle \phi _{1}|}$ 以及${\displaystyle \langle \phi _{2}|}$ ，還有複數c₁及c₂，則既然右矢是線性泛函，

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$ 。

• 給定任何右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ 及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ，還有複數c₁及c₂，根據內積的性質（其中c*代表c的複數共軛），

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ 與${\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|}$ 對偶。

• 給定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$ 及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，內積的一個公理性質指出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}}$ 。

• 給定任何算符${\displaystyle X}$ 、左矢${\displaystyle \langle \phi |}$ 及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$ ，它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理，例如，^[2]:16-17

${\displaystyle (|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )}$ 、

${\displaystyle \langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle }$ 。

相關條目

•  物理学主题
•  数学主题

• 量子態
• 内积空间
• 角動量圖

參考文獻

1. PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics 35 (3). 1939: 416–418 [2014-01-31]. doi:10.1017/S0305004100021162. （原始内容于2013-12-03）.  |journal=被忽略 (帮助)
2. Sakukrai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914