薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。^{[1]:80-84[2][3]}

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從${\displaystyle t_{0}}$流易到${\displaystyle t}$，而經過這段時間間隔，態向量${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$演化為態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$，這時間演化過程以方程式表示為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$；

其中，${\displaystyle U(t,t_{0})}$是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量${\displaystyle H}$不含時，則時間演化算符為

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，指數函數${\displaystyle e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }}$必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。^{[4]:第2章第25頁}

時間演化算符

定義

時間演化算符${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$ 定義為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ ；

其中，右矢${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ 表示時間為${\displaystyle t}$ 的態向量，${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$ 是時間演化算符，從時間${\displaystyle t}$ 演化到時間${\displaystyle t_{0}}$ 。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符${\displaystyle U(t,\,t_{0})}$ 作用於時間是${\displaystyle t_{0}}$ 的態向量${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ ，則會得到時間是${\displaystyle t}$ 的態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ 。

類似地，也可以用左矢${\displaystyle \langle \psi |}$ 來定義：

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})}$ ；

其中，算符${\displaystyle U^{\dagger }}$ 是算符${\displaystyle U}$ 的厄米共軛。

性質

幺正性

由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變：^[1]:66-69

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ 。

可是，

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ 。

所以，

${\displaystyle U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I}$  ;

其中，${\displaystyle I}$ 是單位算符。

單位性

時間演化算符${\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})}$ 必須是單位算符${\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})=I}$ ，因為，^[1]:66-69

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ 。

閉包性

從初始時間${\displaystyle t_{0}}$ 到最後時間${\displaystyle t}$ 的時間演化算符，可以視為從中途時間${\displaystyle t_{1}}$ 到最後時間${\displaystyle t}$ 的時間演化算符，乘以從初始時間${\displaystyle t_{0}}$ 到中途時間${\displaystyle t_{1}}$ 的時間演化算符^[1]:66-69：

${\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})}$ 。

根據時間演化算符的定義，

${\displaystyle |\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ ，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle }$ 。

所以，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ 。

可是，再根據定義，

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$ 。

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

${\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})}$ 。

時間演化算符的微分方程式

為了方便起見，設定${\displaystyle t_{0}=0}$ ，初始時間${\displaystyle t_{0}}$ 永遠是${\displaystyle 0}$ ，則可忽略時間演化算符的${\displaystyle t_{0}}$ 參數，改寫為${\displaystyle U(t)}$ 。含時薛丁格方程式為^[1]:68-73

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle }$ ；

其中，${\displaystyle H}$ 是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle }$ 。

由於${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ 可以是任意恆定態向量（處於${\displaystyle t=0}$ 的態向量），時間演化算符必須遵守方程式

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)}$ 。

假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ 。

注意到在時間${\displaystyle t=0}$ ，時間演化算符必須約化為單位算符${\displaystyle U(0)=I}$ 。由於${\displaystyle H}$ 是算符，指數函數${\displaystyle e^{-iHt}}$ 必須通過其泰勒級數計算：

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots }$ 。

按照時間演化算符的定義，在時間${\displaystyle t}$ ，態向量為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ 。

注意到${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ 可以是任意態向量。假設初始態向量${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是${\displaystyle E}$ ，則在時間${\displaystyle t}$ ，態向量為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$ 。

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)}$ 。

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

${\displaystyle U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle T}$ 是時間排序算符。

必須用戴森級數（英语：Dyson series）來表示，

${\displaystyle U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})}$ 。

各種繪景比較摘要

為了便利分析，位於下標的符號${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 、${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ 、${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：^{[1]:86-89, 337-339}

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可觀察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式

參考文獻

1. Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
2. Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
3. Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
4. Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013 [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始内容 (PDF)于2015-12-22）. 

• Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.