定態

在量子力學裏，定態（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為

設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 ${\displaystyle \psi _{N}=(\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ 。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0}$ ；

其中，${\displaystyle \Psi (x,\,t)}$ 是定態的波函數，${\displaystyle x}$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是時間 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi }$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle m}$ 是質量，${\displaystyle V(x)}$ 是位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

${\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }}$ ；

其中，${\displaystyle \psi (x)}$ 是 ${\displaystyle \Psi (x,\,t)}$ 的不含時間部分，${\displaystyle E}$ 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi +V\psi =E\psi }$ 。

這是一個不含時薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 ${\displaystyle E}$ 與伴隨的本徵函數 ${\displaystyle \psi _{E}(x)}$ 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 ${\displaystyle E}$ ，波函數 ${\displaystyle \psi (x)}$ 是定態薛丁格方程式的本徵函數 ${\displaystyle \psi _{E}(x)}$ 。

機率密度與時間無關

雖然定態 ${\displaystyle \Psi (x,\,t)}$  很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

${\displaystyle |\Psi (x,\,t)|^{2}=|\psi (x)|^{2}}$  。

所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如，位置的期望值 ${\displaystyle \langle x\rangle }$  是

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\Psi (x,\,t)|^{2}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\psi (x)|^{2}\,dx\\\end{aligned}}}$  。

再舉一例，動量的期望值 ${\displaystyle \langle p\rangle }$  是

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle p\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,\,t)\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{iEt/\hbar }{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi (x)e^{-iEt/\hbar })\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\,\psi ^{*}(x){\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\,dx\\\end{aligned}}}$  。

所以，${\displaystyle \langle x\rangle }$  和 ${\displaystyle \langle p\rangle }$  都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 ${\displaystyle f(x,\,p)}$  ，期望值 ${\displaystyle \langle f(x,\,p)\rangle }$  必然與時間無關。

參閱

• 純態
• 混合態
• 基態
• 激發態
• 束縛態
• 真空態
• 相干態
• 簡併態

參考文獻

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.