一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如，${\displaystyle x^{2}-3x+2=2}$，${\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}$，${\displaystyle t^{2}-3=0}$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是　${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$

其中，${\displaystyle ax^{2}}$是二次项，${\displaystyle bx}$是一次项，${\displaystyle c}$是常数项。${\displaystyle a\neq 0}$是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，${\displaystyle a\neq 0}$也可以省略不写。當然，一元二次方程式有時會出現虛數根。

歷史

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。

将其转化为数学语言：解关于${\displaystyle x}$ 的方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx=-c}$ 

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即^[1]${\displaystyle 4a}$ ，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}$ 

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即${\displaystyle b^{2}}$ ，得　${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}$ 

然后在方程的两边同时开二次方根，得　${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}$ 

解法

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合${\displaystyle a\neq 0}$ 的原則就可以了。

因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 後，如果${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 存在两个实根${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ，那么它可以因式分解为${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}$ 。

例如，解一元二次方程${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ 时，可将原方程左边分解成${\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}$ ，所以${\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}$ ，可解得${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}$ 

公式解法

對於${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)}$ ，它的根可以表示為　${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$ 

當${\displaystyle c\neq 0}$ 時也寫成　${\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}}$ 

公式解的證明

公式解可以由配方法得出。首先先將一元二次方程的一般形式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 除以${\displaystyle a}$ （${\displaystyle a}$ 在一元二次方程中不為零），將會得到　${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}$ ，即　${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}$ 

現在可以開始配方了。為了配方，必須要加上一個常數到等式的左邊，使等式左邊有完全平方${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$ 的樣子。

當${\displaystyle 2xy={\frac {b}{a}}x}$ 時，得到${\displaystyle y={\frac {b}{2a}}}$ ，亦即當式子的兩邊加上${\displaystyle y^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}$ 將得到${\displaystyle x^{2}+{\frac {2b}{2a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}$ ，現在式子的左邊變成了一個完全平方式了，並且可以看出是${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)}$ 的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了　${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ 

接下來，對式子的兩邊開根號　${\displaystyle \left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{|2a|}}\Leftrightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}$ 

最後，式子兩邊同時減去${\displaystyle {\frac {b}{2a}}}$ 得公式解　${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$ 

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、複數或是任意数域中适用。

公式中的根式${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$ 

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為${\displaystyle b^{2}-4ac}$ 的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

根的判别式

对于實係数一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}$ ，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$ 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

• 如果${\displaystyle \Delta >0}$ ，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數，且${\displaystyle \Delta }$ 是一个完全平方数，則這兩個根都是有理数，否則這兩個根至少有一個是無理數。

• 如果${\displaystyle \Delta =0}$ ，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ 

• 如果${\displaystyle \Delta <0}$ ，则这个一元二次方程有兩個不同的複數根，兩根互为共轭复数。這時根為${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\\end{aligned}}}$ ，其中 ${\displaystyle {\begin{aligned}i^{2}&=-1\end{aligned}}}$ 

非實係數一元二次方程

即係數为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不適用於非實係數一元二次方程。

根與係數

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

$${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$$

 

$${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}$$

 

图像解法

 

${\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}$ ，则该函数与x轴相交（有两个交点）
${\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}$ ，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
${\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}$ ，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 的根的几何意义是二次函数${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ 的图像（為一条抛物线）与${\displaystyle x}$ 轴交点的x坐标。

 

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 的解是${\displaystyle y=x^{2}}$ 和${\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}$ 交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 化为${\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$  的形式。

则方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 的根，就是函数${\displaystyle y=x^{2}}$ 和${\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}}$ 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解

$${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$$

 

可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

参见

• 方程
• 三次方程
• 和平方
• 差平方
• 平方差
• 配方法

参考资料

外部連結

• 101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）