和平方

此條目介紹的是乘法公式。关于完美正方形，请见「完美正方形」。关于完全平方，请见「完全平方」。

和平方是數學公式的一種，它屬於乘法公式及因式分解，現時經常使用。和平方是指兩個數目的總和的平方，公式是：

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}$

驗證

基本驗證

和平方可直接利用因式分解驗證。公式如下：

${\displaystyle (a+b)^{2}}$ 

${\displaystyle =(a+b)(a+b)}$ 

${\displaystyle =a(a+b)+b(a+b)}$ 

${\displaystyle =a^{2}+ab+ab+b^{2}}$ 

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$ 

簡單驗證

和平方亦可以表格形式驗證：

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ 

x)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$

幾何驗證

 

和平方可透過圖表來驗證。右圖中，是一個${\displaystyle (a+b)^{2}}$ 的正方形。可在右圖中分割為四部分：

• ${\displaystyle a^{2}}$ 
• ${\displaystyle ab}$ 
• ${\displaystyle ab}$ 
• ${\displaystyle b^{2}}$ 

將四部分加在一起：

${\displaystyle a^{2}+ab+ab+b^{2}}$ 

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$ 

三數和平方

三數和平方，指三個（或可多個）數目的總和的平方，得來的公式是：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\,\!}$ 

驗證

驗證方法與兩數和平方差不多，可透過多项式乘法驗證：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}}$ 

${\displaystyle =(a+b+c)(a+b+c)}$ 

${\displaystyle =a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)}$ 

${\displaystyle =a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}}$ 

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$ 

三數和平方亦可以表格形式驗證：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$ 

x)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +c}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +ac}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$	${\displaystyle +bc}$
${\displaystyle +c}$	${\displaystyle +ac}$	${\displaystyle +bc}$	${\displaystyle +c^{2}}$

 

透過幾何驗證也同樣，根據右圖將所有部分加在一起：

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ab+bc+bc+ac+ac}$ 

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$ 

內部連結

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