因式分解

因式分解，在这里是指多項式因式分解（英語：Polynomial Factorization^{[註 1]}），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式^{[註 2]}的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式${\displaystyle x^{2}-1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-1\right)}$。又如二元多項式${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$因式分解為${\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)}$。如果我们允许多項式系数从整数扩大到複整數，那么${\displaystyle x^{2}+1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+i\right)\left(x-i\right)}$。通常分解获得的每个因式要是不可约多项式（irreducible）。也就是不能再分解了。

一多項式 x² + cx + d 可因式分解成(x + a)(x + b)。其中：ab = d，a + b = c 

因式分解定理

数域F上每个次数${\displaystyle \geq 1}$ 的多项式${\displaystyle f(x)}$ 都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式

${\displaystyle f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)}$ 

其中${\displaystyle p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$ 和${\displaystyle q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)}$ 都是数域F上的不可约多项式，那么必有${\displaystyle s=t}$ ，而且可以适当排列因式的次序，使得

${\displaystyle p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$ ,其中${\displaystyle c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)}$ 是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则：

1、分解必須要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）

2、結果最後只留下小括號

3、結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出，例子：

• ${\displaystyle 7a+98ab}$ 
  • 其中，${\displaystyle 7a}$ 是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 7a(1+14b)}$ 
• ${\displaystyle 51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}}$ 
  • 其中，${\displaystyle 3a^{3}b^{2}}$ 是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}$ 

公式重組(拼)

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

• ${\displaystyle 3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby}$ 

${\displaystyle =(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)}$ 

${\displaystyle =3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)}$ 

${\displaystyle =(1+4ab)(3a^{2}b-5y)}$ 

• ${\displaystyle 15n^{2}+2m-3n-10mn}$ 

${\displaystyle =(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)}$ 

${\displaystyle =3n(5n-1)+2m(1-5n)}$ 

${\displaystyle =3n(5n-1)-2m(5n-1)}$ 

${\displaystyle =(5n-1)(3n-2m)}$ 

添項法(增)

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

• ${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1}$ 

${\displaystyle =x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1}$ 

${\displaystyle =x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1}$ 

${\displaystyle =x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}}$ 

${\displaystyle =(x^{2})^{2}+(2)(x^{2})(1)+(1)^{2}-x^{2}}$ 

${\displaystyle =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}$ 

${\displaystyle =(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)}$ 

${\displaystyle =(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}$ 

分項法(拆)

透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$ 

• 其中，${\displaystyle -7x}$ 可以被拆成${\displaystyle -x}$ 和${\displaystyle -6x}$ 。所以，${\displaystyle x^{3}-7x+6}$ 可以被寫成${\displaystyle x^{3}-x-6x+6}$ 。因此，

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$ 

${\displaystyle =x^{3}-x-6x+6}$ 

${\displaystyle =(x^{3}-x)-(6x-6)}$ 

${\displaystyle =x(x^{2}-1)-6(x-1)}$ 

${\displaystyle =x(x+1)(x-1)-6(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x(x+1)-6)(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x^{2}+x-6)(x-1)}$ 

其中，${\displaystyle +x}$ 可以被拆成${\displaystyle +3x}$ 和${\displaystyle -2x}$ 。所以，${\displaystyle x^{2}+x-6}$ 可以被寫成${\displaystyle x^{2}+3x-2x-6}$ 。因此，

${\displaystyle (x^{2}+x-6)(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x^{2}+3x-2x-6)(x-1)}$ 

${\displaystyle =((x^{2}+3x)-(2x+6))(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x(x+3)-2(x+3))(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x-2)(x+3)(x-1)}$ 

${\displaystyle =(x-1)(x-2)(x+3)}$ 

十字交乘法

主条目：十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

兩個n次方數之和與差

兩個立方數之和

${\displaystyle a^{3}+b^{3}\,\!}$ 可分解為${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 

兩個立方數之差

${\displaystyle a^{3}-b^{3}\,\!}$ 可分解為${\displaystyle (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$ 

兩個n次方數之差

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$ 

兩個奇數次方數之和

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$ 

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$ ，假如它有整係數因式${\displaystyle px+q}$ ，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p|a_{n}}$ 
• ${\displaystyle q|a_{0}}$ 

不過反過來說，即使當${\displaystyle p|a_{n}}$ 和${\displaystyle q|a_{0}}$ 都成立時，整係數多項式${\displaystyle px+q}$ 也不一定是整係數多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$ 的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$ ，若${\displaystyle px-q}$ 是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p-q|f(1)}$ 
• ${\displaystyle p+q|f(-1)}$ 

参见

• 因数分解
• 多項式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式

注释

1. 也有polynomial factorisation或factoring的用法
2. 因式即多項式。

延伸閱讀

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co