霍爾婚配定理

数学上，霍爾婚配定理^{[註 1]}（英語：Hall's marriage theorem）是菲利浦·霍爾最先證明^[3]的圖論定理，又稱霍爾定理^[4]，描述二分图中，能將一側全部頂點牽線匹配到另一側的充要條件。定理另有一個等價的組合敍述，確定一族有限集合在何種充要條件下，可自每個集合各揀選一個元素，而使所選元素兩兩互異（即沒有元素是重復的）。

集族表述

設 ${\displaystyle S}$  為 ${\displaystyle X}$  的有限子集^{[註 2]}組成的有限^{[註 3]}多重^{[註 4]}族。

${\displaystyle S}$  的一個代表系（英语：Transversal (combinatorics)）是 ${\displaystyle S}$  至 ${\displaystyle X}$  的單射，且該單射 ${\displaystyle f}$  將族中任意集合 ${\displaystyle s\in S}$  映至該集合的某元素 ${\displaystyle f(s)}$ 。換言之，${\displaystyle f}$  從 ${\displaystyle S}$  中每個集合，選出一個代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「單射」之義）。代表系又稱為「截面」或「遍歷」（transversal）。

族 ${\displaystyle S}$  滿足霍爾條件，意思是對每個子族 ${\displaystyle W\subseteq S}$ ，有

${\displaystyle |W|\leq \left|\bigcup _{A\in W}A\right|.}$ 

用文字複述，該條件斷言對於 ${\displaystyle S}$  的每個子族，其各集合一共擁有的不同成員數，不小於該子族的集合數。若不滿足該條件，則不存在代表系，因為在某子族 ${\displaystyle W}$ （設有 ${\displaystyle k}$  個集合）中，各集合一共衹有少於 ${\displaystyle k}$  個互異元素，如此由鴿巢原理，為 ${\displaystyle k}$  個集合所選的 ${\displaystyle k}$  個代表元之中，必有兩者相等。霍爾定理說明，前述命題的否命題也成立，即若滿足霍爾條件，則必存在代表系。

霍爾定理：一族有限集有代表系，當且僅當其滿足霍爾條件，即其任意子族皆滿足以上不等式。

證明見§ 圖論表述。

例

 

例一：符合霍爾條件

例一：考慮集族 ${\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3}\}}$ ，其中

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{1,2,3\},\\A_{2}&=\{1,4,5\},\\A_{3}&=\{3,5\}.\end{aligned}}}$ 

合適的代表系有 ${\displaystyle (1,4,5)}$ ，但並不唯一，例如 ${\displaystyle (2,1,3)}$  亦可。

 

例二：違反霍爾條件

例二：考慮 ${\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}}$ ，其中

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{2,3,4,5\},\\A_{2}&=\{4,5\},\\A_{3}&=\{5\},\\A_{4}&=\{4\}.\end{aligned}}}$ 

此時，無合適的代表系。子族 ${\displaystyle W=\{A_{2},A_{3},A_{4}\}}$  違反霍爾條件，因為該族有 ${\displaystyle |W|=3}$  個集合，但該三個集之並為 ${\displaystyle A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}=\{4,5\}}$ ，僅得兩個元素。

例三：同樣設 ${\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}}$ ，但換成

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{1,2,3\},\\A_{2}&=\{2,4\},\\A_{3}&=\{1,2,4\},\\A_{4}&=\{2,4\}.\end{aligned}}}$ 

此時，${\displaystyle A_{2}}$  與 ${\displaystyle A_{4}}$  的代表必為 ${\displaystyle 2,4}$  或逆序，從而 ${\displaystyle A_{3}}$  的代表須為 ${\displaystyle 1}$ 。所以，合適的代表系有且衹有 ${\displaystyle (3,2,1,4)}$  或 ${\displaystyle (3,4,1,2)}$ 。

命名

定理命名為「婚配」（marriage），是與以下例子有關。設有兩組人，一組 ${\displaystyle n}$  男，一組 ${\displaystyle n}$  女。每名女士心目中皆有一份名單（若干男士組成的子集），會接受名單中的男士的求婚，但會拒絕其他人。而該些男士別無所求，願意向任何女士求婚。媒人希望判斷是否存在方案，在尊重諸位女士的意願的前提下，將該兩組人撮合成 ${\displaystyle n}$  對夫妻^{[註 5]}。

以 ${\displaystyle A_{i}}$  表示第 ${\displaystyle i}$  名女士願意接受的男士集合，則霍爾定理講述，存在方案使每位女士與心儀對象結婚，且無重婚，當且僅當對於任意若干位女士組成的集合 ${\displaystyle I}$ ，願意與其中至少一位女士結婚的男士數 ${\displaystyle \left|\bigcup _{i\in I}A_{i}\right|}$ ，不小於該集合的女士數 ${\displaystyle |I|}$ 。

後一個條件為必要，否則該 ${\displaystyle |I|}$  名女士根本無法找到足夠的配偶。較不明顯的是，該條件亦為充分，此即霍爾定理的肯綮。

圖論表述

 

藍色邊構成一組匹配

設 ${\displaystyle G}$  為有限二部圖，頂點集分為 ${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle Y}$  兩部，以符號記為 ${\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}$ 。${\displaystyle X}$  完美匹配是圖上若干條邊組成的匹配，其兩兩無公共端點，且 ${\displaystyle X}$  的每個頂點各有一條邊在該匹配中。

對於 ${\displaystyle X}$  的任意子集 ${\displaystyle W}$ ，設 ${\displaystyle N_{G}(W)}$  為 ${\displaystyle W}$  在 ${\displaystyle G}$  中的鄰域（英语：Neighbourhood (graph theory)），即 ${\displaystyle Y}$  中與 ${\displaystyle W}$  至少一點有連邊的全體頂點之集。霍爾定理斷言，存在 ${\displaystyle X}$  完美匹配，当且仅当對 ${\displaystyle X}$  的每個子集 ${\displaystyle W}$ ，皆有：

${\displaystyle |W|\leq |N_{G}(W)|.}$ 

換言之，與 ${\displaystyle W}$  相鄰的頂點，不少於 ${\displaystyle W}$  的頂點。上述不等式稱為霍爾條件。

證明

「${\displaystyle \Longrightarrow }$ 」：假設有匹配 ${\displaystyle M}$ ，覆蓋頂點集 ${\displaystyle X}$ 。欲證霍爾條件對全部 ${\displaystyle W\subseteq X}$  成立。記 ${\displaystyle M(W)}$  為 ${\displaystyle W}$  經 ${\displaystyle M}$  匹配到的頂點集，其為 ${\displaystyle Y}$  的子集。由匹配的定義，必有 ${\displaystyle |M(W)|=|W|}$ ，同時 ${\displaystyle M(W)\subseteq N_{G}(W)}$ ，因為 ${\displaystyle M(W)}$  的元素皆為 ${\displaystyle W}$  的鄰舍。故 ${\displaystyle |N_{G}(W)|\geq |M(W)|}$ ，即 ${\displaystyle |N_{G}(W)|\geq |W|}$ 。

「${\displaystyle \Longleftarrow }$ 」：假設無 ${\displaystyle X}$  完美匹配，欲證有某子集 ${\displaystyle W\subseteq X}$  違反霍爾條件。設 ${\displaystyle M}$  為極大匹配，換言之，若再添加任何一條邊，則不再為匹配。設 ${\displaystyle u}$  為 ${\displaystyle X}$  中未獲覆蓋的頂點。考慮由 ${\displaystyle u}$  出發的全體「交錯路徑」，即圖 ${\displaystyle G}$  中的路徑，其首邊不屬 ${\displaystyle M}$ ，次邊屬於 ${\displaystyle M}$ ，第三邊又不屬 ${\displaystyle M}$ ，如此交錯排列。${\displaystyle u}$  藉該些交錯路徑，與 ${\displaystyle Y}$  中若干頂點相連，該些頂點組成的子集記為 ${\displaystyle Z}$ ；又與 ${\displaystyle X}$  中若干頂點相連（此處 ${\displaystyle u}$  亦視為與自己相連），得子集 ${\displaystyle W}$ 。極長^{[註 6]}的交錯路徑不能終於 ${\displaystyle Y}$ ，否則其首尾皆不屬 ${\displaystyle M}$ ，故為「增廣路徑」：翻轉路徑上所有邊的狀態，將不屬 ${\displaystyle M}$  者加入 ${\displaystyle M}$ ，屬 ${\displaystyle M}$  者移走，則得到嚴格比 ${\displaystyle M}$  多邊的匹配，此為不可能。至此，已證 ${\displaystyle Z}$  中每個頂點，皆經 ${\displaystyle M}$  匹配到 ${\displaystyle W\setminus \{u\}}$  中某頂點。反之，${\displaystyle W\setminus \{u\}}$  中任意一個頂點，亦有 ${\displaystyle Z}$  中某頂點與之匹配，即沿 ${\displaystyle u}$  至 ${\displaystyle v}$  的交錯路徑，${\displaystyle v}$  的前一頂點。所以，${\displaystyle M}$  給出 ${\displaystyle W\setminus \{u\}}$  與 ${\displaystyle Z}$  之間的一一對應，所以 ${\displaystyle |W|=|Z|+1}$ 。另一方面，將證明 ${\displaystyle N_{G}(W)\subseteq Z}$ 。設 ${\displaystyle v\in N_{G}(W)}$  是與某頂點 ${\displaystyle w\in W}$  鄰接。若邊 ${\displaystyle wv}$  在 ${\displaystyle M}$  中，則自 ${\displaystyle u}$  至 ${\displaystyle w}$  的一切交錯路徑中，${\displaystyle v}$  皆在 ${\displaystyle w}$  以先，故有 ${\displaystyle u}$  至 ${\displaystyle v}$  的交錯路徑。否則 ${\displaystyle wv}$  不屬 ${\displaystyle M}$ ，但已知有 ${\displaystyle u}$  至 ${\displaystyle w}$  的交錯路徑，末邊屬於 ${\displaystyle M}$ ，故可續以 ${\displaystyle wv}$ ，亦得自 ${\displaystyle u}$  至 ${\displaystyle v}$  的交錯路徑。證畢 ${\displaystyle N_{G}(W)\subseteq Z}$ ，故 ${\displaystyle \left|N_{G}(W)\right|\leq |Z|=|W|-1<|W|}$ ，違反霍爾條件。

算法

若 ${\displaystyle X}$  的子集 ${\displaystyle W}$  滿足 ${\displaystyle |N_{G}(W)|<|W|}$ ，則定義 ${\displaystyle W}$  為霍爾犯（英语：Hall violator）。若 ${\displaystyle W}$  為霍爾犯，則無匹配能覆蓋 ${\displaystyle W}$  的全部頂點。所以，也無匹配覆蓋 ${\displaystyle X}$ 。霍爾定理斷言，二部圖有 ${\displaystyle X}$  完美匹配，當且僅當其不含任何霍爾犯。以下算法驗證定理較難的方向：輸入一幅二部圖，算法或輸出一個 ${\displaystyle X}$  完美匹配，或輸出一個霍爾犯。

該算法調用以下子程序：輸入匹配 ${\displaystyle M}$  及未匹配的某頂點 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ，或輸出一條 ${\displaystyle M}$  增廣路徑，或輸出一個霍爾犯。該子程序可以深度优先搜索實作。

以下敍述算法的步驟：

1. 初始時，設 ${\displaystyle M}$  為空集，未選定任何邊。（其後會加邊入 ${\displaystyle M}$ 。）
2. 檢查：${\displaystyle M}$  確為 ${\displaystyle G}$  的匹配。
3. 若 ${\displaystyle M}$  已覆蓋 ${\displaystyle X}$ ，則為所求的 ${\displaystyle X}$  完美匹配，輸出並結束程序。
4. 否則，找到未匹配的頂點 ${\displaystyle x_{0}\in X\setminus V(M)}$ 。
5. 調用尋找增廣路徑的子程序，視乎情況：
   1. 若找到霍爾犯，則輸出並結束。
   2. 若找到 ${\displaystyle M}$  增廣路徑，則將該路徑上各邊的狀態翻轉，使 ${\displaystyle M}$  的邊數增加一。返回第2步。

每次找到增廣路徑，都會使 ${\displaystyle M}$  多一條邊。所以，前述算法的迴圈至多執行 ${\displaystyle |X|}$  次，就會停機。每次尋找增廣路徑需時 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|E|)}$ 。總時間複雜度與不加權的最大匹配問題（英语：maximum cardinality matching）的福特-富爾克森算法相約。

兩種表述等價

設 ${\displaystyle S=(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$ ，其中 ${\displaystyle A_{i}}$  皆為有限集，不必相異。相應地，構造二部圖 ${\displaystyle G}$ ，一側頂點集 ${\displaystyle X=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$  對應該 ${\displaystyle n}$  個集合，另一側頂點集 ${\displaystyle Y}$  為該些集合之並。若 ${\displaystyle A_{i}}$  有元素 ${\displaystyle y\in Y}$ ，則在圖中連一條邊 ${\displaystyle v_{i}y}$ 。如此，族 ${\displaystyle S}$  的代表系即是 ${\displaystyle G}$  的 ${\displaystyle X}$  完美匹配，覆蓋 ${\displaystyle X}$  的全部頂點。所以，以集族表述的霍爾問題，容易化成圖論表述的霍爾問題。反之亦然：給定二部圖 ${\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}$ ，${\displaystyle X}$  完美匹配相當於鄰域（英语：Neighbourhood (graph theory)）族 ${\displaystyle \{\Gamma (x):x\in X\}}$  的代表系。

其他證明

利用拓撲組合學（英语：Topological combinatorics）的斯佩納引理（英语：Sperner's lemma），可得霍爾定理的非構造性證明。^{[5]:Thm.4.1,4.2}

應用

定理有許多「非婚」應用。例如，取一疊啤牌（無鬼牌），洗勻後，派成13磴，每磴4張。由霍爾定理可證，必能從每磴揀選一張牌，使所選13張牌恰好出齊各點數（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正則二部圖（允許重邊）皆有完美匹配。^[6]:2

較抽象的應用有雙邊陪集遍歷。設 ${\displaystyle G}$  為群，${\displaystyle H}$  為其有限指數子群，則霍爾定理適用於證明存在集合 ${\displaystyle T}$ ，既是 ${\displaystyle H}$  各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。^[7]

霍爾定理亦用於證明，若 ${\displaystyle r<n}$ ，則任意 ${\displaystyle r\times n}$  拉丁矩陣（英语：Latin rectangle）皆可擴展成 ${\displaystyle (r+1)\times n}$  拉丁矩陣，並可重複，直至得到完整的拉丁方陣。^[8]

相關定理

本定理可歸類到組合學的一列強力定理，其彼此關聯。若假設任何一條，則較易證得其他各條，但若要從頭開始，則較難證得任何一條。總括而言，該類定理各自斷言某類組合優化問題具有強對偶性（英语：Strong duality）。該些定理包括：

• 克尼格定理（英语：Kőnig's theorem (graph theory)）：二部圖的最大匹配，與最小頂點覆蓋（英语：Vertex cover）等大。
  • 克尼格-艾蓋瓦里定理（英语：König–Egerváry theorem）（1931年），得名自克尼格·代奈什（英语：Dénes Kőnig）、艾蓋瓦里·耶內兩位匈牙利數學家，是克尼格定理的加權推廣。^{[註 7]}
• 门格尔定理（1927年）：邊最小割的大小，等於任意在所有頂點對之間可以找到的無公共邊的路徑的最大數量。結論換成頂點最小割與無公共（中間）頂點的路徑仍成立。
• 最大流最小割定理（福特-富爾克森算法）：任意网络流中，最大流的值等於最小割。
• 伯克霍夫-馮紐曼定理（英语：Birkhoff–Von Neumann theorem）（1946年）：一個方陣為雙隨機（英语：Doubly stochastic matrix）^{[註 8]}，當且僅當其為置換方陣的凸組合。
• 迪爾沃思定理（英语：Dilworth's theorem）：覆蓋某偏序集所需的不交鏈數，與該集的最大反鏈等大。

欲要更具體^[9][10]描述各定理的關係，下列各等價關係有簡單證明：

迪爾沃思定理 ⇔ 霍爾定理 ⇔ 克尼格-艾蓋瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。

加強

無窮族

馬歇爾·霍爾（英语：Marshall Hall (mathematician)）細察菲利浦·霍爾^{[註 9]}原先的證明，發現可以將結論修改成對（有限集組成的）無窮族 ${\displaystyle S}$  仍成立。^[11]該證明直接使用佐恩引理。此外，也有較簡短的證明，用到命題邏輯的緊緻性定理：^[12]

設 ${\displaystyle S=\{A_{i}:i\in I\}}$ 。對每個 ${\displaystyle i\in I}$  和 ${\displaystyle a\in A_{i}}$ ，以命題 ${\displaystyle p_{a,i}}$  表示「${\displaystyle a}$  選為 ${\displaystyle A_{i}}$  的代表」。可以列出代表系須滿足的條件如下：

• 對應每個 ${\displaystyle i\in I}$ ，各有一條命題斷言恰有一個 ${\displaystyle a\in A_{i}}$  使 ${\displaystyle p_{a,i}}$  為真^{[註 10]}；
• 對應每對互異的 ${\displaystyle i,j\in I}$  和 ${\displaystyle a\in A_{i}\cap A_{j}}$ ，各有一條命題為 ${\displaystyle \neg (p_{a,i}\wedge p_{a,j})}$ 。

如此，代表系即等價於同時滿足以上各命題的賦值。由有限族的霍爾定理，對 ${\displaystyle I}$  的任意有限子集 ${\displaystyle J}$ ，相應的有限子族有代表系，故以上命題中，任意有限條皆可同時滿足。所以，由緊緻性定理，全部命題可同時滿足，即有整個無窮族的代表系。

以上一般情況的證明中，選擇公理（或等價命題如佐恩引理）為必須，因為給定一族無窮多個非空集（無額外條件），欲從每個集合中，選出一個代表（而無須相異），已需要選擇公理。

無窮集

馬歇爾·霍爾給出下列反例，表明若允許有無窮集，則所組成的無窮族，即使滿足霍爾條件，亦不保證有代表系。

設族 ${\displaystyle S}$  由可數多個集合 ${\displaystyle A_{0}=\{1,2,3,\ldots \},\ A_{1}=\{1\},\ A_{2}=\{2\},\ \ldots ,\ A_{i}=\{i\},\ \ldots }$  構成。該族滿足霍爾條件，但無法選出代表系。^[11]

若妥為敍述，則的確可將霍爾定理推廣至適用於無窮集。給定二部圖，兩側頂點集為 ${\displaystyle A,B}$ ，若由 ${\displaystyle B}$  的子集 ${\displaystyle C}$  出發，在圖中找到單射（意思是衹能用二部圖的邊），射向 ${\displaystyle A}$  的子集 ${\displaystyle D}$ ，則稱 ${\displaystyle C\leq D}$ ，而若更甚者，圖中沒有反向的，由 ${\displaystyle D}$  至 ${\displaystyle C}$  的單射，則稱 ${\displaystyle C<D}$ 。前述定義中，若忽略「在圖中」三字，則所得大小的概念等同一般基數的大小比較。無窮集的婚配定理斷言：^[13]

圖中有 ${\displaystyle A}$  至 ${\displaystyle B}$  的單射，當且僅當對每個 ${\displaystyle D\subseteq A}$ ，皆有其鄰域 ${\displaystyle N(D)\nless D}$ 。

代表系的數目

馬歇爾·霍爾也計算出給定有限族 ${\displaystyle S}$  的代表系數目的下界，從而加強婚配定理。其敍述為：^[14]

設有一列有限集 ${\displaystyle (A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$ ，不必相異，但滿足霍爾條件，又設 ${\displaystyle |A_{i}|\geq r}$  對 ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$  成立。則當 ${\displaystyle r\leq n}$  時，該族有限集至少有 ${\displaystyle r!}$  個不同的代表系，而當 ${\displaystyle r>n}$  時，至少有 ${\displaystyle r(r-1)\cdots (r-n+1)}$  個。

此處即使兩個代表系的元素一樣，衹要其次序不同，亦視為不同。例如，若 ${\displaystyle A_{1}=\{1,2,3\}}$ ，${\displaystyle A_{2}=\{1,2,5\}}$ ，則 ${\displaystyle (1,2)}$  和 ${\displaystyle (2,1)}$  為兩個不同的代表系。

分數匹配

圖的分數匹配（fractional matching）是對各邊賦予非負權值，使每個頂點所連各邊的權值和不超逾 ${\displaystyle 1}$ 。所謂 ${\displaystyle X}$  完美的分數匹配，即是使 ${\displaystyle X}$  中的每一頂點處，各邊權之和恰為 ${\displaystyle 1}$ 。對於二部圖 ${\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}$ ，下列各項等價：^[15]

• ${\displaystyle G}$  有 ${\displaystyle X}$  完美匹配。
• ${\displaystyle G}$  有 ${\displaystyle X}$  完美分數匹配。（此為前項的直接推論。給定一個 ${\displaystyle X}$  完美匹配，將該匹配所選的邊賦權 ${\displaystyle 1}$ ，其餘邊賦 ${\displaystyle 0}$ ，則得到 ${\displaystyle X}$  完美分數匹配。）
• ${\displaystyle G}$  滿足霍爾條件。（若有前項的分數匹配，則對於 ${\displaystyle X}$  的每個子集 ${\displaystyle W}$ ，其所連各邊之和恰為 ${\displaystyle |W|}$ ，故至少要與對面的 ${\displaystyle |W|}$  個頂點相連，因為對面每個頂點所連的邊值和不超過 ${\displaystyle 1}$ 。）

虧缺

主条目：虧度 (圖論)（英语：Deficiency (graph theory)）

假如霍爾條件不成立，則原定理僅斷言不存在完美匹配，但並未說明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考慮圖的虧度（英语：Deficiency (graph theory)）。對於二部圖 ${\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)}$ ，${\displaystyle G}$  關於 ${\displaystyle X}$  的虧度（deficiency）是 ${\displaystyle |W|-|N_{G}(W)|}$  的最大值，其中 ${\displaystyle W}$  可取 ${\displaystyle X}$  的任意子集。虧度越大，則圖離霍爾條件越遠。

用霍爾定理可證，若二部圖的虧度為 ${\displaystyle d}$ ，則有大小為 ${\displaystyle |X|-d}$  的匹配。（考慮在 ${\displaystyle Y}$  側添加 ${\displaystyle d}$  個輔助點，與 ${\displaystyle X}$  所有頂點連邊。新圖將滿足霍爾條件。）

非二部圖

• 若推廣至一般的圖（不必為二部圖），則其上有完美匹配的充要條件，由塔特定理描述。
• 若推廣至各類二部超圖（英语：bipartite hypergraph）（二部圖的超圖版本），則相應有各種霍爾式定理（英语：Hall-type theorems for hypergraphs）。

註

1. 婚配之名見於^[1][2]。
2. Hall, Jr. 1986，pg. 51。也可以允許無窮集，但此時須限制族中的集合數有限（考慮重數），見§ 推廣。然而，不能放寬成無窮多個無窮集。
3. ${\displaystyle S}$  可以放寬為無窮族，見§ 推廣。
4. 即 ${\displaystyle S}$  可以有重複的元素，且會考慮其重複次數。
5. 此例子中，為使定理適用，需要假設該些人的婚姻為一夫一妻制。
6. 即無法再延伸。
7. 定理的名稱，文獻中略有出入。相關的定理既有二分圖匹配的表述，也有 (0,1) 矩陣覆蓋的表述。Hall, Jr. (1986)和van Lint & Wilson (1992)稱矩陣表述為克尼格定理，而Roberts & Tesman (2009)則稱之為克尼格-艾蓋瓦里定理。二部圖版本，Cameron (1994)和Roberts & Tesman (2009)皆稱為克尼格定理。
8. 即行和與列和皆等於一，且各項非負。
9. 兩人並非親屬。
10. 此處的命題需要 ${\displaystyle A_{i}}$  為有限集，纔能用命題邏輯的語言寫出

參考文獻

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站外鏈結

• Cut-the-knot站，Marriage Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Cut-the-knot站，Marriage Theorem and Algorithm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Lucky的筆記Hall's marriage theorem explained intuitively （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

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