置换矩阵, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年12月15日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 在数学中的矩阵论裡, 英語, permutation, matrix, 是一种系数只由0和1组成的方块矩阵, 的每一行和每一列都恰好有一个1, 其余元素都是0, 在线性代数中, 每个n阶的都代表了一个对n个元素, n维空间的基, 的置换, 当一个矩阵乘上一个时, 所得到的是原来矩阵的横行, 在左, 或纵列, 在右, 经过置换后得到的. 此條目没有列出任何参考或来源 2019年12月15日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 在数学中的矩阵论裡 置换矩阵 英語 permutation matrix 是一种系数只由0和1组成的方块矩阵 置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1 其余元素都是0 在线性代数中 每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素 n维空间的基 的置换 当一个矩阵乘上一个置换矩阵时 所得到的是原来矩阵的横行 置换矩阵在左 或纵列 置换矩阵在右 经过置换后得到的矩阵 目录 1 严格定义 2 性质 3 置换矩阵与置换 4 例子 5 推广 6 参见 7 参考资料 8 外部链接严格定义 编辑每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵 设p 为一个n元置换 p 1 n 1 n displaystyle pi lbrace 1 ldots n rbrace to lbrace 1 ldots n rbrace nbsp 给出其映射图 12 np 1 p 2 p n displaystyle begin bmatrix 1 amp 2 amp cdots amp n pi 1 amp pi 2 amp cdots amp pi n end bmatrix nbsp 它对应的n n的置换矩阵Pp是 在第i横行只有p i 位置上系数为1 其余为0 即可以写做 Pp ep 1 ep 2 ep n displaystyle P pi begin bmatrix mathbf e pi 1 mathbf e pi 2 vdots mathbf e pi n end bmatrix nbsp 其中每个ej displaystyle mathbf e j nbsp 表示正则基中的第j个 也就是一个左起第j个元素为1 其余都是0的n元横排数组 由于单位矩阵是 I e1e2 en displaystyle I begin bmatrix mathbf e 1 mathbf e 2 vdots mathbf e n end bmatrix nbsp 置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵 性质 编辑对两个n元置换p 和 s的置换矩阵Pp 和Ps 有 PpPs Ps p displaystyle P pi P sigma P sigma circ pi nbsp 一个置换矩阵Pp 必然是正交矩阵 即满足PpPpT I displaystyle P pi P pi T I nbsp 并且它的逆也是置换矩阵 Pp 1 Pp 1 PpT displaystyle P pi 1 P pi 1 P pi T nbsp 用置换矩阵Pp displaystyle P pi nbsp 右乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量 Ppg ep 1 ep 2 ep n g1g2 gn gp 1 gp 2 gp n displaystyle P pi mathbf g begin bmatrix mathbf e pi 1 mathbf e pi 2 vdots mathbf e pi n end bmatrix begin bmatrix g 1 g 2 vdots g n end bmatrix begin bmatrix g pi 1 g pi 2 vdots g pi n end bmatrix nbsp 用置换矩阵Pp displaystyle P pi nbsp 左乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量 hPp h1h2 hn ep 1 ep 2 ep n hp 1 1 hp 1 2 hp 1 n displaystyle mathbf h P pi begin bmatrix h 1 h 2 dots h n end bmatrix begin bmatrix mathbf e pi 1 mathbf e pi 2 vdots mathbf e pi n end bmatrix begin bmatrix h pi 1 1 h pi 1 2 dots h pi 1 n end bmatrix nbsp 置换矩阵与置换 编辑设Sn是n次对称群 由于n置换一共有n 个 n阶的置换矩阵也有n 个 这n 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群 这个群的单位元就是单位矩阵 设A是所有n阶的置换矩阵的集合 映射Sn A GL n Z2 是一个群的忠实表示 对一个置换s 其对应的置换矩阵Ps是将单位矩阵的横行进行 s 置换 或者将单位矩阵的横行进行 s 1 置换得到的矩阵 置换矩阵是双随机矩阵的一种 伯克霍夫 冯 诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合 并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点 置换矩阵Ps的迹数等于相应置换s的不动点的个数 设 a1 a2 ak 为其不动点的序号 则ea1 ea2 eak 是Ps的特征向量 由群论可以知道 每个置换都可以写成若干个对换的复合 由此可知 置换矩阵Ps都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积 Ps的行列式就等于 s 的符号差 例子 编辑对应于置换p 1 4 2 5 3 的置换矩阵Pp 是 Pp ep 1 ep 2 ep 3 ep 4 ep 5 e1e4e2e5e3 1000000010010000000100100 displaystyle P pi begin bmatrix mathbf e pi 1 mathbf e pi 2 mathbf e pi 3 mathbf e pi 4 mathbf e pi 5 end bmatrix begin bmatrix mathbf e 1 mathbf e 4 mathbf e 2 mathbf e 5 mathbf e 3 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 end bmatrix nbsp 给定一个向量 g Ppg ep 1 ep 2 ep 3 ep 4 ep 5 g1g2g3g4g5 g1g4g2g5g3 displaystyle P pi mathbf g begin bmatrix mathbf e pi 1 mathbf e pi 2 mathbf e pi 3 mathbf e pi 4 mathbf e pi 5 end bmatrix begin bmatrix g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 end bmatrix begin bmatrix g 1 g 4 g 2 g 5 g 3 end bmatrix nbsp 推广 编辑置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况 一个m n的0 1矩阵 P 是置换矩阵当且仅当 P PT Im displaystyle P cdot P T I m nbsp 这时一个0 1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1 每一列至多有一个1 置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数 一个n阶的方块矩阵 P 是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零 这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果 参见 编辑变号矩阵 广义置换矩阵参考资料 编辑张贤达 矩阵分析与应用 清华大学出版社 2004 中文 中国大陆 外部链接 编辑左光纪 置换矩阵的组合合成及其图表示 0 1矩阵与置换矩阵 永久失效連結 置换矩阵 英文 置换矩阵介绍 英文 取自 https zh wikipedia org w index php title 置换矩阵 amp oldid 63636359, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,