重言1形式, 在数学中, 重言, 形式, tautological, form, 是流形, 的余切丛, displaystyle, 上一个特殊的, 形式, 这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了, displaystyle, 的辛流形结构, 重言, 形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用, 重言, 形式有时也称为刘维尔, 形式, 典范, 形式, 或者辛势能, 一个类似的对象是切丛上的典范向量场, 在典范坐标中, 重言, 形式由下式给出, displaystyle, theta, 在差一个全微分, 恰. 在数学中 重言 1 形式 Tautological one form 是流形 Q 的余切丛 T Q displaystyle T Q 上一个特殊的 1 形式 这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 T Q displaystyle T Q 的辛流形结构 重言 1 形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用 重言 1 形式有时也称为刘维尔 1 形式 典范 1 形式 或者辛势能 一个类似的对象是切丛上的典范向量场 在典范坐标中 重言 1 形式由下式给出 8 i p i d q i displaystyle theta sum i p i dq i 在差一个全微分 恰当形式 的意义下 相空间中的任何 保持 典范 1 形式结构的坐标系 可以称之为典范坐标 不同典范坐标之间的变换称为典范变换 典范辛形式由 w d 8 i d q i d p i displaystyle omega d theta sum i dq i wedge dp i 给出 目录 1 无坐标定义 2 性质 3 作用量 4 在度量空间上 5 又见 6 参考文献无坐标定义 编辑重言 1 形式可以相当抽象地定义为相空间上一个 1 形式 设 Q displaystyle Q nbsp 是一个流形 M T Q displaystyle M T Q nbsp 是其余切空间或者说相空间 设 p M Q displaystyle pi M to Q nbsp 是典范纤维丛投影 令 T p T M T Q displaystyle T pi TM to TQ nbsp 是 p displaystyle pi nbsp 诱导的前推 设 m 是 M 上一点 然而因为 M 是余切丛 我们可将 m 理解为切空间上一个函数 在 q p m displaystyle q pi m nbsp 点为 m T q Q R displaystyle m T q Q to mathbb R nbsp 这样 我们便有 m 是在 q 点的纤维中 重言 1 形式 8 m displaystyle theta m nbsp 在点 m 定义为 8 m m T p displaystyle theta m m circ T pi nbsp 这是一个线性函数 8 m T m M R displaystyle theta m T m M to mathbb R nbsp 所以 8 T M R displaystyle theta TM to mathbb R nbsp 是流形 M T Q displaystyle M T Q nbsp 上一个 1 形式 不难验证这种定义和上一节局部坐标的定义是相同的 性质 编辑重言 1 形式是惟一 消去 拉回的 1 形式 这便是说 若 b Q T Q displaystyle beta Q to T Q nbsp 是 Q 上任意一个 1 形式 而 b displaystyle beta nbsp 是其拉回 那么 b 8 b displaystyle beta theta beta nbsp 以及 b w d b displaystyle beta omega d beta nbsp 这些都可以用上一节的定义直接得到 如果写成局部坐标的形式就最好理解 b 8 b i p i d q i i b p i d q i i b i d q i b displaystyle beta theta beta sum i p i dq i sum i beta p i dq i sum i beta i dq i beta nbsp 作用量 编辑如果 H 是余切丛上一个哈密顿向量场 而 X H displaystyle X H nbsp 是其哈密顿流 那么相应的作用量 S 为 S 8 X H displaystyle S theta X H nbsp 用普通的方式表述 哈密顿流代表了一个力学系统在哈密顿 雅可比方程限制下的轨道 哈密顿流是哈密顿向量场的积分曲线 所以我们用作用量 角度坐标传统记法 S E i p i d q i displaystyle S E sum i oint p i dq i nbsp 这里积分理解为在流形上的维持能量 E displaystyle E nbsp 为常数 H E const displaystyle H E text const nbsp 的子集上进行 在度量空间上 编辑如果流形 Q 有一个黎曼或者伪黎曼度量 g 那么相应的定义可以用广义坐标写出 特别地 如果我们取度量为映射 g T Q T Q displaystyle g TQ to T Q nbsp 这样便定义了 8 g 8 displaystyle Theta g theta nbsp 和 W d 8 g w displaystyle Omega d Theta g omega nbsp 在 TQ 上的广义坐标中 q 1 q n q 1 q n displaystyle q 1 ldots q n dot q 1 ldots dot q n nbsp 我们有 8 i j g i j q i d q j displaystyle Theta sum ij g ij dot q i dq j nbsp 以及 W i j g i j d q i d q j i j k g i j q k q i d q j d q k displaystyle Omega sum ij g ij dq i wedge d dot q j sum ijk frac partial g ij partial q k dot q i dq j wedge dq k nbsp 度量使我们可定义 T Q displaystyle T Q nbsp 上的一个单位半径球面 丛 典范 1 形式限制到这些球面上组成了一个切触结构 这个切触结构可以用来生成关于这个度量的测地流 又见 编辑基本类参考文献 编辑Ralph Abraham and Jarrold E Marsden Foundations of Mechanics 1978 Benjamin Cummings London ISBN 0 8053 0102 X See section 3 2 贺龙广 辛几何与泊松几何引论 首都师范大学出版社 2001年 ISBN 7 81064 249 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 重言1形式 amp oldid 25506382, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,