調和映射, 此條目介紹的是黎曼流形間的, 关于調和函數, 请见, 調和函數, 數學上, 在黎曼流形m和n之間的一個, 光滑, 映射, 稱為, 如果這個映射是狄利克雷能量泛函, displaystyle, varphi, varphi, operatorname, 的一個臨界點, 試想像m是橡膠做的, n是大理石做的, 形狀由其度量決定, 而映射φ, n給出把橡膠, 貼附, 在大理石上的方式, 就表示因橡膠的張力產生的彈性位能, 用這個比喻, φ稱為, 如果把橡膠, 鬆開, 但仍限制要處處與大理石接觸時, 那麼橡膠已. 此條目介紹的是黎曼流形間的調和映射 关于調和函數 请见 調和函數 數學上 在黎曼流形M和N之間的一個 光滑 映射 稱為調和映射 如果這個映射是狄利克雷能量泛函 E f M d f 2 d Vol displaystyle E varphi int M d varphi 2 d operatorname Vol 的一個臨界點 試想像M是橡膠做的 N是大理石做的 形狀由其度量決定 而映射f M N給出把橡膠 貼附 在大理石上的方式 E f 就表示因橡膠的張力產生的彈性位能 用這個比喻 f稱為調和映射 如果把橡膠 鬆開 但仍限制要處處與大理石接觸時 那麼橡膠已經在平衡的位置 所以不會 縮回 到另一個形狀 從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射 這個結果是Eells amp Sampson 1964 證出 目录 1 數學定義 2 例子 3 度量空間的調和映射 4 參考 5 外部連結數學定義 编辑給出黎曼流形 M g N h 和映射f M N 定義f在M中一點x上的能量密度為 e f 1 2 d f 2 displaystyle e varphi frac 1 2 d varphi 2 nbsp 其中 d f 2 displaystyle d varphi 2 nbsp 是f的微分的範數平方 範數是對向量叢T M f 1TN上的導出度量而取 能量是能量密度在M上的積分 E f M e f d v g 1 2 M d f 2 d v g displaystyle E varphi int M e varphi dv g frac 1 2 int M d varphi 2 dv g nbsp 其中dvg是M上由度量導出的測度 這是古典狄利克雷能量的推廣 能量密度可以更明確地表作 e f 1 2 trace g f h displaystyle e varphi frac 1 2 operatorname trace g varphi h nbsp 用愛因斯坦求和約定 上式右方在局部座標中可表示為 e f 1 2 g i j h a b f a x i f b x j displaystyle e varphi frac 1 2 g ij h alpha beta frac partial varphi alpha partial x i frac partial varphi beta partial x j nbsp 當M是緊緻時 則f稱為調和映射 若f是能量泛函E的一個臨界點 這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況 f稱為調和映射 若f限制到任一個緊緻區域上都是調和映射 換一個更通常的說法 就是若在索伯列夫空間H1 2 M N 中f是能量泛函一個臨界點 調和映射的另一個等價定義 就是f滿足與泛函E對應的歐拉 拉格朗日方程 t f def trace g d f 0 displaystyle tau varphi stackrel text def operatorname trace g nabla d varphi 0 nbsp 其中 是向量叢T M f 1上由M和N的列維 奇維塔聯絡導出的聯絡 式中t f 是向量叢f 1 TN 的截面 稱為f的張力場 用上文的物理比喻來說 t f 是 橡膠 流形M要使能量極小化時在N中擬欲移動的方向 例子 编辑恆等映射和常映射是調和映射 若M是實數線R 或圓S1 也就是說f是N上的一條曲線 或閉曲線 那麼f是調和映射當且僅當f是測地線 這時上述的橡膠與大理石比喻 就變為測地線常用的橡皮圈比喻 若N是歐氏空間Rn 那麼f是調和映射當且僅當f是通常意義上的調和函數 即拉普拉斯方程的一個解 這是狄利克雷原理的結果 若f是滿射到N的開子集上的微分同胚 則f給出一個調和座標系 在歐氏空間中的極小曲面都是調和浸入 更一般地 N中的極小子流形M是從M到N的調和浸入 全測地映射都是調和映射 此時不僅 df h的跡 trace 連 df h也變為零 凱勒流形間的任何全純映射都是調和映射 度量空間的調和映射 编辑對於兩個度量空間之間的映射u M N 這個比黎曼流形弱的場合 能量積分也有相應的推廣 Jost 1995 這時用以下形式的函數代替能量積分 e ϵ u x M d 2 u x u y d m x ϵ y M d 2 x y d m x ϵ y displaystyle e epsilon u x frac int M d 2 u x u y d mu x epsilon y int M d 2 x y d mu x epsilon y nbsp 其中mex 是依附在M每一點上的測度族 參考 编辑Eells J Sampson J H Harmonic mappings of Riemannian manifolds Amer J Math 1964 86 109 160 JSTOR 2373037 Eells J Lemaire J A report on harmonic maps Bull London Math Soc 1978 10 1 68 doi 10 1112 blms 10 1 1 Eells J Lemaire J Another report on harmonic maps Bull London Math Soc 1988 20 385 524 Jost Jurgen Equilibrium maps between metric spaces Calculus of Variations and Partial Differential Equations 1994 2 2 173 204 ISSN 0944 2669 MR 1385525 doi 10 1007 BF01191341 Jost Jurgen Riemannian Geometry and Geometric Analysis 4th Berlin New York Springer Verlag 2005 ISBN 978 3 540 25907 7 外部連結 编辑MathWorld Harmonic map 页面存档备份 存于互联网档案馆 Harmonic maps bibliography 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 調和映射 amp oldid 65662417, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,