狄利克雷原理, 此条目的主題是变分法中的结论, 关于组合数学中的原理, 請見, 抽屜原理, 在数学中的位势论里, 是关于在, displaystyle, mathbb, 中的某个区域, displaystyle, omega, 上的泊松方程, displaystyle, delta, 满足边界条件, displaystyle, partial, omega, displaystyle, 的解, 的刻画, 原理说明, 是使得狄利克雷势能, displaystyle, omega, left, frac, nabla,. 此条目的主題是变分法中的结论 关于组合数学中的原理 請見 抽屜原理 在数学中的位势论里 狄利克雷原理是关于在 R n displaystyle mathbb R n 中的某个区域 W displaystyle Omega 上的泊松方程 D u f 0 displaystyle Delta u f 0 满足边界条件 在 W displaystyle partial Omega 上 u g displaystyle u g 的解 u x 的刻画 原理说明 u x 是使得狄利克雷势能 E v W 1 2 v 2 v f d x displaystyle E v int Omega left frac 1 2 nabla v 2 vf right mathrm d x 最小的几乎处处二次可导 并且在边界 W displaystyle partial Omega 上满足 v g displaystyle v g 的函数 v displaystyle v 如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话 这个原理得名于德国数学家勒热纳 狄利克雷 由于以上的狄利克雷积分是下有界的 因此必然存在一个下确界 黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到 直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子 后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性 证明 编辑以下给出 g 0 displaystyle g 0 nbsp 时的证明 1 假设 u 是使得 E v W 1 2 v 2 v f d x displaystyle E v int Omega left frac 1 2 nabla v 2 vf right mathrm d x nbsp 最小的并且几乎处处二次可导 并且在边界 W displaystyle partial Omega nbsp 上满足v 0 displaystyle v 0 nbsp 的函数v displaystyle v nbsp 那么对于任意一个满足边界条件的函数 w displaystyle w nbsp 任意正实数e displaystyle varepsilon nbsp 都有 E u e w W 1 2 u e w 2 u f e w f d x W 1 2 u 2 u f d x displaystyle E u varepsilon w int Omega left frac 1 2 nabla u varepsilon nabla w 2 uf varepsilon wf right mathrm d x geqslant int Omega left frac 1 2 nabla u 2 uf right mathrm d x nbsp 即 W e u w 1 2 e 2 w 2 e w f d x 0 displaystyle int Omega left varepsilon nabla u cdot nabla w frac 1 2 varepsilon 2 nabla w 2 varepsilon wf right mathrm d x geqslant 0 nbsp 上式左侧是一个关于e displaystyle varepsilon nbsp 的二次多项式 并且在 e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp 的时候取到最小值 所以有 W u w w f d x 0 displaystyle int Omega left nabla u cdot nabla w wf right mathrm d x 0 nbsp 另一方面 由于函数 w displaystyle w nbsp 满足边界条件 即在 W displaystyle partial Omega nbsp 上满足 w 0 displaystyle w 0 nbsp 因此有 0 W w u n d s W div w u d x W w D u u w d x W w D u f d x displaystyle begin aligned 0 amp int partial Omega w left nabla u cdot mathbf n right mathrm d sigma int Omega operatorname div left w cdot nabla u right mathrm d x amp int Omega left w Delta u nabla u cdot nabla w right mathrm d x int Omega w left Delta u f right mathrm d x end aligned nbsp 这个结果对所有满足边界条件的函数 w displaystyle w nbsp 都成立 因此根据變分法基本引理 可以得到D u f 0 displaystyle Delta u f 0 nbsp 参见 编辑普拉托问题 格林第一公式参考来源 编辑 Mark A Prinsky Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Applications Waveland Pr Inc 2003 ISBN 978 1577662754 Courant R Dirichlet s Principle Conformal Mapping and Minimal Surfaces Appendix by M Schiffer Interscience 1950 Lawrence C Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society 1998 ISBN 978 0821807729 埃里克 韦斯坦因 Dirichlet s Principle MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 狄利克雷原理 amp oldid 76680470, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,