Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.
二月 04, 2023
歐拉, 拉格朗日方程, 英語, euler, lagrange, equation, 為變分法中的一條重要方程, 它是一个二阶偏微分方程, 它提供了求泛函的臨界值, 平穩值, 函數, 換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法, 與微積分差異的地方在於, 泛函的定義域為函數空間而不是, displaystyle, mathbb, 该方程由瑞士数学家莱昂哈德, 欧拉与意大利数学家约瑟夫, 拉格朗日在1750年代提出, 目录, 第一方程, 第二方程, 例子, 例一, 两点之间最短曲线, 例二, 两点之间最短曲线. 歐拉 拉格朗日方程 英語 Euler Lagrange equation 為變分法中的一條重要方程 它是一个二阶偏微分方程 它提供了求泛函的臨界值 平穩值 函數 換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法 與微積分差異的地方在於 泛函的定義域為函數空間而不是 R n displaystyle mathbb R n 该方程由瑞士数学家莱昂哈德 欧拉与意大利数学家约瑟夫 拉格朗日在1750年代提出 目录 1 第一方程 2 第二方程 3 例子 3 1 例一 两点之间最短曲线 3 2 例二 两点之间最短曲线的另一种求解 4 參閱 5 參考書籍第一方程 编辑設f f x y z displaystyle f f x y z 以及f y f z displaystyle f y f z 在 a b R 2 displaystyle a b times mathbb R 2 中連續 並設泛函 J y a b f x y x y x d x displaystyle J y int a b f x y x y x dx 若y C 1 a b displaystyle y in C 1 a b 使得泛函J y displaystyle J y 取得局部平穩值 則對於所有的x a b displaystyle x in a b d d x y f x y y y f x y y displaystyle frac d dx frac partial partial y f x y y frac partial partial y f x y y 推廣到多維的情況 記 y x y 1 x y 2 x y n x displaystyle vec y x y 1 x y 2 x ldots y n x y x y 1 x y 2 x y n x displaystyle vec y x y 1 x y 2 x ldots y n x f x y y f x y 1 x y 2 x y n x y 1 x y 2 x y n x displaystyle f x vec y vec y f x y 1 x y 2 x ldots y n x y 1 x y 2 x ldots y n x 若y x C 1 a b n displaystyle vec y x in C 1 a b n 使得泛函J y a b f x y y d x displaystyle J vec y int a b f x vec y vec y dx 取得局部平穩值 則在區間 a b displaystyle a b 內對於所有的i 1 2 n displaystyle i 1 2 ldots n 皆有 d d x y i f x y y y i f x y y displaystyle frac d dx frac partial partial y i f x vec y vec y frac partial partial y i f x vec y vec y 第二方程 编辑設f f x y z displaystyle f f x y z 及f y f z displaystyle f y f z 在 a b R 2 displaystyle a b times mathbb R 2 中連續 若y C 1 a b displaystyle y in C 1 a b 使得泛函J y a b f x y x y x d x displaystyle J y int a b f x y x y x dx 取得局部平穩值 則存在一常數C displaystyle C 使得 f x y y y x f y x y y a x f x x t y t y t d t C displaystyle f x y y y x f y x y y int a x f x x t y t y t dt C 例子 编辑例一 两点之间最短曲线 编辑 設 0 0 displaystyle 0 0 及 a b displaystyle a b 為直角坐標上的兩個固定點 欲求連接兩點之間的最短曲線 設 x t y t t 0 1 displaystyle x t y t t in 0 1 並且 x 0 y 0 0 0 x 1 y 1 a b displaystyle x 0 y 0 0 0 x 1 y 1 a b 這裏 x t y t C 1 0 1 displaystyle x t y t in C 1 0 1 為連接兩點之間的曲線 則曲線的弧長為 L y 0 1 x t 2 y t 2 d t displaystyle L y int 0 1 sqrt x t 2 y t 2 dt 現設 y t x t y t displaystyle vec y t x t y t f t y t y t x t 2 y t 2 displaystyle f t vec y t vec y t sqrt x t 2 y t 2 取偏微分 則 f x x t x t 2 y t 2 displaystyle f x frac x t sqrt x t 2 y t 2 f y y t x t 2 y t 2 displaystyle f y frac y t sqrt x t 2 y t 2 f x f y 0 displaystyle f x f y 0 若y displaystyle y 使得L y displaystyle L y 取得局部平穩值 則y displaystyle y 符合第一方程 d d t f x t y y f x t y y 0 displaystyle frac d dt f x t y y f x t y y 0 d d t f y t y y f y t y y 0 displaystyle frac d dt f y t y y f y t y y 0 因此 d d t x x t 2 y t 2 0 displaystyle frac d dt frac x sqrt x t 2 y t 2 0 d d t y x t 2 y t 2 0 displaystyle frac d dt frac y sqrt x t 2 y t 2 0 隨t displaystyle t 積分 x x 2 y 2 C 0 displaystyle frac x sqrt x 2 y 2 C 0 y x 2 y 2 C 1 displaystyle frac y sqrt x 2 y 2 C 1 這裏 C 0 C 1 displaystyle C 0 C 1 為常數 重新編排 x C 0 2 1 C 0 2 r displaystyle x sqrt frac C 0 2 1 C 0 2 r y C 1 2 1 C 1 2 s displaystyle y sqrt frac C 1 2 1 C 1 2 s 再積分 x t r t r displaystyle x t rt r y t s t s displaystyle y t st s 代入初始條件 x 0 y 0 0 0 displaystyle x 0 y 0 0 0 x 1 y 1 a b displaystyle x 1 y 1 a b 即可解得 x t y t a t b t displaystyle x t y t at bt 是連接兩點的一條線段 另經過其他的分析 可知此解為唯一解 並且該解使得L y displaystyle L y 取得極小值 所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線 例二 两点之间最短曲线的另一种求解 编辑 另一个例子同样是求定义在区间 a b 上的实值函数y满足y a c与y b d 并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短 s a b 1 y 2 d x displaystyle s int a b sqrt 1 y 2 mathrm d x 被积函数为 L x y y 1 y 2 displaystyle L x y y sqrt 1 y 2 L的偏导数为 L x y y y y 1 y 2 displaystyle frac partial L x y y partial y frac y sqrt 1 y 2 以及 L x y y y 0 displaystyle frac partial L x y y partial y 0 把上面两式代入欧拉 拉格朗日方程 可以得到 d d x y x 1 y x 2 0 y x 1 y x 2 C constant y x C 1 C 2 A y x A x B displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d x frac y x sqrt 1 y x 2 amp 0 frac y x sqrt 1 y x 2 amp C text constant Rightarrow y x amp frac C sqrt 1 C 2 A Rightarrow y x amp Ax B end aligned 也就是说 该函数的一阶导数必须为常值 因此其图像为直线 參閱 编辑拉格朗日方程式 變分法 作用量 哈密頓原理參考書籍 编辑Troutman John L Variational Calculus and Optimal Control 2nd edition Springer 1995 ISBN 978 0387945118 取自 https zh wikipedia org w index php title 歐拉 拉格朗日方程 amp oldid 73465128, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,