角動量算符

在量子力學裏，角動量算符（英語：angular momentum operator）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性^[1]。

簡介

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義

在經典力學裏，角動量 ${\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},\ L_{y},\ L_{z})\,\!}$  定義為位置 ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}$  與動量 ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},\ p_{y},\ p_{z})\,\!}$  的叉積：

${\displaystyle \mathbf {L} \ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$  。

在量子力學裏，對應的角動量算符 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}\,\!}$  定義為位置算符 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!}$  與動量算符 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}\,\!}$  的叉積：

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,\!}$  。

由於動量算符的形式為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,\!}$  。

角動量算符的形式為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar ({\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla )\,\!}$  。

其中，${\displaystyle \nabla \,\!}$  是梯度算符。

角動量是厄米算符

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  ：

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}\,\!}$  。

其伴隨算符 ${\displaystyle L_{x}^{\dagger }\,\!}$  為

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }=({\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y})^{\dagger }={\hat {p}}_{z}^{\dagger }{\hat {y}}^{\dagger }-{\hat {p}}_{y}^{+}{\hat {z}}^{\dagger }\,\!}$  。

由於 ${\displaystyle {\hat {y}}\,\!}$  、${\displaystyle {\hat {z}}\,\!}$  、${\displaystyle {\hat {p}}_{y}\,\!}$  、${\displaystyle {\hat {p}}_{z}\,\!}$  ，都是厄米算符，

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {p}}_{z}{\hat {y}}-{\hat {p}}_{y}{\hat {z}}\,\!}$  。

由於 ${\displaystyle {\hat {p}}_{z}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {y}}\,\!}$  之間、${\displaystyle {\hat {p}}_{y}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {z}}\,\!}$  之間分別相互對易，所以，

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}={\hat {L}}_{x}\,\!}$  。

因此，${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  是一個厄米算符。類似地，${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  算符，

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!}$  。

其伴隨算符 ${\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }\,\!}$  為

${\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{y}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }\,\!}$  。

由於 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{2}\,\!}$  算符、${\displaystyle {\hat {L}}_{y}^{2}\,\!}$  算符、${\displaystyle {\hat {L}}_{z}^{2}\,\!}$  算符，都是厄米算符，

${\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}={\hat {L}}^{2}\,\!}$  。

所以，${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  算符是厄米算符。

對易關係

主条目：角动量算符对易关系

兩個算符 ${\displaystyle {\hat {A}}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {B}}\,\!}$  的交換算符 ${\displaystyle [{\hat {A}},\ {\hat {B}}]\,\!}$  ，表示出它們之間的對易關係。

角動量算符與自己的對易關係

思考 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  的交換算符，

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})\\&=i\hbar {\hat {L}}_{z}\\\end{aligned}}\,\!}$  。

由於兩者的對易關係不等於 0 ， ${\displaystyle L_{x}\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{y}\,\!}$  彼此是不相容可觀察量。${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  的本徵態與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  。對於可觀察量算符 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  ，所有本徵值為 ${\displaystyle \ell _{xi}\,\!}$  的本徵態 ${\displaystyle |f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!}$  ，形成了一組基底量子態。量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  可以表達為這基底量子態的線性組合：${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle \,\!}$  。對於可觀察量算符 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  ，所有本徵值為 ${\displaystyle \ell _{yi}\,\!}$  的本徵態 ${\displaystyle |g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!}$  ，形成了另外一組基底量子態。量子態 ${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$  可以表達為這基底量子態的線性組合：${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle \,\!}$  。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 ${\displaystyle L_{x}\,\!}$  ，得到的測量值為其本徵值 ${\displaystyle \ell _{xi}\,\!}$  ，則量子態機率地塌縮為本徵態 ${\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!}$  。假若，我們立刻再測量可觀察量 ${\displaystyle L_{x}\,\!}$  ，得到的答案必定是 ${\displaystyle \ell _{xi}\,\!}$  ，量子態仍舊處於 ${\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!}$  。可是，假若，我們改為測量可觀察量 ${\displaystyle L_{y}\,\!}$  ，則量子態不會停留於本徵態 ${\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!}$  ，而會塌縮為 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 ${\displaystyle \ell _{yj}\,\!}$  ，則量子態機率地塌縮為本徵態 ${\displaystyle |g_{j}\rangle \,\!}$  。

根據不確定性原理，

${\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}\,\!}$  。

${\displaystyle L_{x}\,\!}$  的不確定性與 ${\displaystyle L_{y}\,\!}$  的不確定性的乘積 ${\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\,\!}$  ，必定大於或等於 ${\displaystyle {\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}\,\!}$  。

${\displaystyle L_{x}\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  之間，${\displaystyle L_{y}\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  之間，也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係

思考 ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  的交換算符，

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]&=[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]\\&={\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}\\&={\hat {L}}_{x}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y})-({\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}+i\hbar {\hat {L}}_{y}){\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{x})-({\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-i\hbar {\hat {L}}_{x}){\hat {L}}_{y}\\&=0\\\end{aligned}}\,\!}$ 。

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  是對易的，${\displaystyle L^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 ${\displaystyle L^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  的本徵值。

類似地，

${\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!}$  、

${\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!}$  。

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  之間、${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  之間，都分別擁有類似的物理特性。

哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係

思考哈密頓算符 ${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  的交換算符，

${\displaystyle [{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{z}]=\left[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x}\right]=0\,\!}$  ，

${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  是對易的，${\displaystyle H\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 ${\displaystyle H\,\!}$  與 ${\displaystyle L_{z}\,\!}$  的同樣的本徵值。

類似地，

${\displaystyle [{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!}$  ，

${\displaystyle [{\hat {H}},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!}$  。

${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  之間，${\displaystyle {\hat {H}}\,\!}$  與 ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  之間，都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

${\displaystyle \{L_{i},\ L_{j}\}=\epsilon _{ijk}L_{k}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \{\ ,\ \}\,\!}$  是帕松括號，${\displaystyle \epsilon _{ijk}\,\!}$  是列維-奇維塔符號，${\displaystyle i\,\!}$  、${\displaystyle j\,\!}$  、${\displaystyle k\,\!}$  ，代表直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$  。

本徵值與本徵函數

採用球坐標。展開角動量算符的方程式：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}&={\frac {\hbar }{i}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla \\&={\frac {\hbar }{i}}r\mathbf {e} _{r}\times \left(\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&={\frac {\hbar }{i}}\left(-\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\\end{aligned}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {e} _{r}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{\phi }\,\!}$  ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標，

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\frac {\hbar }{i}}\left[\mathbf {e} _{x}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{y}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right]\,\!}$  。

其中，${\displaystyle \mathbf {e} _{x}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{y}\,\!}$  、${\displaystyle \mathbf {e} _{z}\,\!}$  ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，${\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!}$  、${\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!}$  、${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  分別是

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}={\frac {\hbar }{i}}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!}$  、

${\displaystyle {\hat {L}}_{y}={\frac {\hbar }{i}}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!}$  、

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\,\!}$  。

角動量平方算符是

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!}$  ；

其中，

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}$ 

${\displaystyle \left.+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!}$ 、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}$ 

${\displaystyle \left.-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!}$  、

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\,\!}$  。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式^[2]:169

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+(1+\cot ^{2}\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!}$  。

滿足算符 ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!}$  的本徵函數是球諧函數 ${\displaystyle Y_{\ell m}\,\!}$  ：

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)\hbar ^{2}Y_{\ell m}\,\!}$  ；

其中，本徵值 ${\displaystyle \ell \,\!}$  是正整數。

球諧函數也是滿足算符 ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!}$  微分方程式的本徵函數：

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}=m\hbar Y_{\ell m}\,\!}$  ；

其中，本徵值 ${\displaystyle m\,\!}$  是整數，${\displaystyle -\ell \leq m\leq 0\,\!}$  。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 ${\displaystyle Y_{\ell m}\,\!}$  表達為

${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle i\,\!}$  是虛數單位，${\displaystyle P_{\ell m}(\cos {\theta })\,\!}$  是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,}$  ；

而 ${\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!}$  是 ${\displaystyle \ell }$  階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

${\displaystyle P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{\ell }}$  。

球諧函數滿足正交歸一性：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell _{1}m_{1}}Y_{\ell _{2}m_{2}}\sin(\theta )d\theta d\phi =\delta _{\ell _{1}\ell _{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}\,\!}$  。

這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 ${\displaystyle \psi (\theta ,\,\phi )\,\!}$  都可以表達為這單範正交基的線性組合：

${\displaystyle \psi (\theta ,\,\phi )=\sum _{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\,\phi )\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle A_{\ell m}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\,\phi )\psi (\theta ,\,\phi )\sin(\theta )d\theta d\phi \,\!}$  。

參閱

• 氫原子
• 球對稱位勢
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻

1. Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
2. Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：