J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Representations (1995), Graduate Texts in Mathematics 162 ,Springer. ISBN 0387945261
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V.S. Varadarajan, An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups (1989), Cambridge University Press. ISBN 0-521-34156-6
十二月 01, 2023
群表示論, 在群論中, 英語, group, representation, theory, 是一个非常重要的理論, 它包含了, 局部, 緊緻群, 李群, 李代數及群概形的表示等種種分支, 近來無限維表示理論也漸露頭角, 表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用, 目录, 基本定義, 特徵標, 誘導與限制, 例子, 與物理學的關係, 參見, 文獻基本定義, 编辑表示理論早期是藉矩陣的語言描述的, 具體定義如下, 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同, 则這個矩陣集合形成群的一個表示, 這套矩. 在群論中 群表示論 英語 Group representation theory 是一个非常重要的理論 它包含了 局部 緊緻群 李群 李代數及群概形的表示等種種分支 近來無限維表示理論也漸露頭角 表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用 目录 1 基本定義 2 特徵標 3 誘導與限制 4 例子 5 與物理學的關係 6 參見 7 文獻基本定義 编辑表示理論早期是藉矩陣的語言描述的 具體定義如下 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同 则這個矩陣集合形成群的一個表示 這套矩陣的階稱為表示的維數 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯 則稱這兩個表示是等價的 如果任何維數大於一的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換为相同的塊對角矩陣結構 則稱此表示为可約表示 反之稱为不可約表示 形式地說 一個群G displaystyle G nbsp 的表示乃一同態 r G G L V displaystyle rho G rightarrow mathrm GL V nbsp 其中V displaystyle V nbsp 為給定的有限維向量空間 係數佈於一個域F displaystyle F nbsp 通常取F C displaystyle F mathbb C nbsp 但在一般域 如局部域或有限域 上的表示也有重要應用 G L V displaystyle mathrm GL V nbsp 表從V displaystyle V nbsp 上的自同構 或對一給定的基底來說 是n dim V displaystyle n dim V nbsp 階可逆方陣的集合 若K e r r displaystyle mathrm Ker rho nbsp 是平凡的 則稱此表現是忠實的 若所考慮的群G displaystyle G nbsp 帶有額外的結構 如拓撲群 李群或群概形 我們通常要求r displaystyle rho nbsp 滿足相應的條件 如連續性 可微性或者要求它是概形間的態射 在有限群及緊緻群以外的情況 通常也須考慮無窮維表示 一個群G displaystyle G nbsp 的所有有限維表示構成一個張量範疇 記為R e p G displaystyle mathrm Rep G nbsp 其態射定義如下 H o m G r V s W f H o m F V W f r g v s g f v displaystyle mathrm Hom G rho V sigma W f in mathrm Hom F V W f rho g v sigma g f v nbsp 它等價於有限維F G displaystyle F G nbsp 模所構成的範疇 不難驗證表示間的同構確由矩陣的相似變換給出 一個表示被稱作不可約的 若且唯若它沒有在G displaystyle G nbsp 的作用下不變的非平凡子空間 若一個表示能表成不可約表示的直和 則稱之為完全可約的 若取F C displaystyle F mathbb C nbsp 則緊緻群的表示均為完全可約的 對於一般的李群及群概形則複雜得多 完全可約與否通常與半單性有關 特徵標 编辑給定G displaystyle G nbsp 的一個表示 可以得到一個特徵標x G F displaystyle chi G rightarrow F nbsp 它是個類函數 特徵標理論在有限群分類中佔關鍵地位 在緊緻群上 特徵標滿足舒爾正交關係 又根據彼得 外爾定理 不可約表現的特徵標相對於 L displaystyle L infty nbsp 範數在類函數中稠密 請參見特徵標理論 誘導與限制 编辑設H displaystyle H nbsp 為G displaystyle G nbsp 之子群 G H lt displaystyle G H lt infty nbsp 以下將定義兩個函子R e s H G R e p G R e p H displaystyle mathrm Res H G mathrm Rep G rightarrow mathrm Rep H nbsp 限制 與I n d H G R e p H R e p G displaystyle mathrm Ind H G mathrm Rep H rightarrow mathrm Rep G nbsp 誘導 若r G G L V displaystyle rho G rightarrow mathrm GL V nbsp 為G的表示 則r限制於H給出H的表示 記為R e s H G V displaystyle mathrm Res H G V nbsp 若r H G L V displaystyle rho H rightarrow mathrm GL V nbsp 為H的表示 我們定義V G f G V h H f h g r h f g displaystyle V G f G rightarrow V forall h in H f hg rho h f g nbsp G displaystyle G nbsp 以右乘法作用在V G displaystyle V G nbsp 上 V G displaystyle V G nbsp 仍是有限維 記此表示為I n d H G V displaystyle mathrm Ind H G V nbsp 誘導表示亦可用矩陣直接計算 或定義為某個主齊性空間的截面 後者可推廣至李群與群概形的表示 此時誘導表示的性狀與G H displaystyle G H nbsp 的幾何構造密切相關 弗羅貝尼烏斯互反定理言明 若V W displaystyle V W nbsp 分別為G H displaystyle G H nbsp 的表示 則有自然的同構H o m H W R e s H G V H o m G I n d H G W V displaystyle mathrm Hom H W mathrm Res H G V mathrm Hom G mathrm Ind H G W V nbsp 換言之 I n d H G R e s H G displaystyle mathrm Ind H G mathrm Res H G nbsp 為一對伴隨函子 若以特徵標表之 上述同構化為一個較弱但較具體的等式 x I n d H G W x V x W x R e s H G V displaystyle chi mathrm Ind H G W chi V chi W chi mathrm Res H G V nbsp 例子 编辑任意一個群G displaystyle G nbsp 都自然地作用在其群代數C G displaystyle mathbb C G nbsp 上 稱為正則表現 對稱群S n displaystyle S n nbsp 以s e i e s i displaystyle sigma cdot e i e sigma i nbsp 作用在C n displaystyle mathbb C n nbsp 上 S O n R displaystyle mathrm SO n mathbb R nbsp 以g f x f g x displaystyle g cdot f x f g x nbsp 作用於m次調和多項式上 與物理學的關係 编辑迄今已知的物理定律通常在某個李群的作用下保持不變 如空間的旋轉群S O 3 displaystyle mathrm SO 3 nbsp 或其覆蓋S p i n 3 displaystyle mathrm Spin 3 nbsp 其不可約表示關係到角動量的量子化 進一步的例子是 任何與狹義相對論相容的量子力學系統都帶有G A H displaystyle G AH nbsp 半直積 的酉表示 其中A displaystyle A nbsp 是時空的平移而H displaystyle H nbsp 是 勞侖茲變換群 藉著研究G displaystyle G nbsp 的不可約酉表示 可分類粒子的質量和自旋 參見 编辑舒尔正交关系 特徵標理論文獻 编辑J L Alperin Rowen B Bell Groups and Representations 1995 Graduate Texts in Mathematics 162 Springer ISBN 0387945261 J C Jantzen Representations of Algebraic Groups 2003 American Mathematical Society ISBN 0821835270 V S Varadarajan An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups 1989 Cambridge University Press ISBN 0 521 34156 6 取自 https zh wikipedia org w index php title 群表示論 amp oldid 70641533, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,