質元素, 在數學裡, 尤其是在抽象代數裡, 交換環的, prime, element, 是指滿足類似整數裡的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件, 須注意的是, 與不可約元素之間並不相同, 雖然在唯一分解整環裡是一樣的, 但在一般情況下則不一定相同, 目录, 定義, 與質理想間的關連, 不可約元素, 例子, 參考資料定義, 编辑交換環, 的元素, 被稱為, 若該元素不為, 或可逆元素, 且若, 整除, 內的元素, 整除, 整除, 等價地說, 一元素, 若且唯若由, 產生的主理想, 為非零質理想, 對的興趣來自於算. 在數學裡 尤其是在抽象代數裡 交換環的質元素 prime element 是指滿足類似整數裡的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件 須注意的是 質元素與不可約元素之間並不相同 雖然在唯一分解整環裡是一樣的 但在一般情況下則不一定相同 目录 1 定義 2 與質理想間的關連 3 不可約元素 4 例子 5 參考資料定義 编辑交換環 R 的元素 p 被稱為質元素 若該元素不為 0 或可逆元素 且若 p 整除 ab a 與 b 為 R 內的元素 則 p 整除 a 或 p 整除 b 等價地說 一元素 p 為質元素 若且唯若由 p 產生的主理想 p 為非零質理想 1 對質元素的興趣來自於算術基本定理 該定理斷言 每個非零整數都可以以唯一一種方式寫成 1 或 1 乘上一串正質數之乘積 這導致了對唯一分解整環的研究 推廣了僅在整數內被描述之概念 一個元素是否為質元素 取決於該元素處於哪個環內 例如 2在 Z 裡是個質元素 但在高斯整數環 Z i 裡則不是 因為 2 1 i 1 i 且 2 無法整除等式右邊的任一因子 與質理想間的關連 编辑主条目 質理想 環 R 內的一個理想 I 為質理想 若商環 R I 為一整環 一非零主理想為質理想 若且唯若該主理想由一質元素所產生 不可約元素 编辑主条目 不可約元素 不可將質元素與不可約元素搞混 在一整環裡 每個質元素都是不可約元素 2 但反之不一定成立 不過 在唯一分解整環 3 或更一般地 在GCD環 裡 質元素與不可約元素會是相同的元素 舉例來說 在二次整數環 英语 quadratic integer ring Z 5 displaystyle mathbf Z sqrt 5 中 可以用範數證明 3 是不可約元素 不過 3 不是質元素 因為 3 2 5 2 5 9 displaystyle 3 mid left 2 sqrt 5 right left 2 sqrt 5 right 9 但 3 displaystyle 3 無法整除 2 5 displaystyle 2 sqrt 5 也無法整除 2 5 displaystyle 2 sqrt 5 4 例子 编辑下面為環裡的質元素之例子 在整數環 Z 裡的整數 2 3 5 7 11 在高斯整數環 Z i 裡的複數 1 i 19 與 2 3i 在 Z 上之多項式環 Z x 裡的多項式 x2 2 與 x2 1參考資料 编辑註記 Hungerford 1980 Theorem III 3 4 i 如書中所證明的 這兩個陳述等價 Hungerford 1980 Theorem III 3 4 iii Hungerford 1980 Remark after Definition III 3 5 William W Adams and Larry Joel Goldstein Introduction to Number Theory Prentice Hall Inc 1976 250 ISBN 0 13 491282 9 參考書籍Section III 3 of Hungerford Thomas W Algebra Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974 New York Springer Verlag 1980 ISBN 978 0 387 90518 1 MR 0600654 Jacobson Nathan Basic algebra II 2 New York W H Freeman and Company xviii 686 1989 ISBN 0 7167 1933 9 MR 1009787 Kaplansky Irving Commutative rings Boston Mass Allyn and Bacon Inc x 180 1970 MR 0254021 取自 https zh wikipedia org w index php title 質元素 amp oldid 64690060, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
