等角螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系${\displaystyle (r,\theta )}$中，这个曲线可以写为

等角螺线

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

或

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,}$

因此叫做“对数”螺线。

定理

• 等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
• 设${\displaystyle L}$ 为穿过原点的任意直线，则${\displaystyle L}$ 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为${\displaystyle \cot ^{-1}b}$ 。
• 设${\displaystyle C}$ 为以原点为圆心的任意圆，则${\displaystyle C}$ 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为${\displaystyle \tan ^{-1}b}$ ，名为「倾斜度」
• 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
• 等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
• 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

历史

 

雅各布·伯努利的墓碑，下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。

自然现象

 

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线

 

旋涡星系的旋臂像等角螺线

 

低气压的外觀像等角螺线

• 鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
• 菊的种子排列成等角螺线
• 鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
• 昆虫以等角螺线的方式接近光源
• 蜘蛛网的构造与等角螺线相似
• 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
• 低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺线

构造等角螺线

• 在複平面上定义一个複數${\displaystyle z=a+bi}$ ，其中${\displaystyle a,b\neq 0}$ ，那么连结${\displaystyle z,z^{2},z^{3},\ldots }$ 的曲线就是一条等角螺线。

 

复平面上的等角螺线

• 若${\displaystyle L}$ 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数${\displaystyle e^{z}}$ 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
• 使用黄金矩形：

 

黄金长方形中的等角螺线

• 在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为${\displaystyle r=ae^{b\theta },r'=ae^{b\theta '}}$ ，则有${\displaystyle r'/r=e^{b(\theta '-\theta )}}$ 。

参见

• 双曲螺线
• 圆内螺线
• 柯奴螺线
• 费马螺线
• 连锁螺线
• 阿基米德螺线

引用

• 埃里克·韦斯坦因. Logarithmic Spiral. MathWorld. 
• Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）, University of Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral （页面存档备份，存于互联网档案馆）, at cut-the-knot

外部链接

• Spira mirabilis （页面存档备份，存于互联网档案馆） 等角螺线的历史和数学