黄金矩形

1.6180339887498948...
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黄金矩形是長寬比為黄金比${\displaystyle \varphi }$的矩形。

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...}$

特性

以黄金矩形短邊為邊長畫一正方形，減去正方形即得小黄金矩形：

 

設黄金矩形短邊為乙（${\displaystyle b}$ ），長邊甲（${\displaystyle a}$ ）為${\displaystyle \varphi b}$ 
若以黄金矩形短邊為邊長畫一正方形，則長邊剩下的長度為

${\displaystyle {\text{甲－乙}}=(\varphi -1){\text{乙}}=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right){\text{乙}}=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right){\text{乙}}={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}{\text{乙}}={\frac {1}{\varphi }}{\text{乙}}}$ 

${\displaystyle {\tfrac {\text{甲}}{\text{乙}}}}$ 和${\displaystyle {\tfrac {\text{乙}}{\text{甲－乙}}}}$ 的比均為${\displaystyle \varphi }$ ，所組成的矩形仍為黄金矩形。

繪製

 

黃金矩形畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

1. 畫一正方形
2. 以方形任一邊的中點為圓心，到對角長（即切割出來的長方形的對角線）為半徑畫弧
3. 把該邊延長到上步所畫的弧即完成黃金矩形的長邊
4. 完成剩餘部份

原理

黃金比等於

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1}$ 

約等於162：100

同乘2等於

${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}:2}$ 

約等於162：100

將正方形一邊看作2
由中點到對角長的長度即是${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ （由勾股定理求出），故所求出的長邊即是${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$ 

参看

• 黄金螺线