微分几何中,第二基本形式(second fundamental form)是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式,通常记作 II。与第一基本形式一起,他们可定义曲面的外部不变量,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中或洛伦兹流形中,的一个光滑超曲面上,选取了一个光滑单位法向量场,则可定义这样一个二形式。
Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.请检查|date=中的日期值 (帮助)
Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.
第二基本形式, 微分几何中, second, fundamental, form, 是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式, 通常记作, 与第一基本形式一起, 他们可定义曲面的外部不变量, 主曲率, 更一般地, 若在黎曼流形中或洛伦兹流形中, 的一个光滑超曲面上, 选取了一个光滑单位法向量场, 则可定义这样一个二形式, 目录, 中曲面, 引论, 经典记号, 现代记法, 黎曼流形中的超曲面, 推广为任意餘维数, 相关条目, 参考文献, 外部链接r3, 中曲面, 编辑引论, 编辑, 中一个参数曲面, 的由. 微分几何中 第二基本形式 second fundamental form 是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式 通常记作 II 与第一基本形式一起 他们可定义曲面的外部不变量 主曲率 更一般地 若在黎曼流形中或洛伦兹流形中 的一个光滑超曲面上 选取了一个光滑单位法向量场 则可定义这样一个二形式 目录 1 R3 中曲面 1 1 引论 1 2 经典记号 1 3 现代记法 2 黎曼流形中的超曲面 2 1 推广为任意餘维数 3 相关条目 4 参考文献 5 外部链接R3 中曲面 编辑引论 编辑 R3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入 最先假设曲面是两次连续可微函数的像 z f x y 且平面 z 0 与曲面在原点相切 则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数在 0 0 皆为零 从而 f 在 0 0 处的泰勒展开以二次项开始 z f x x x 2 2 f x y x y f y y y 2 2 o n displaystyle z f xx frac x 2 2 f xy xy f yy frac y 2 2 o n nbsp 记 L f x x M f x y N f y y displaystyle L f xx M f xy N f yy nbsp 则在 x y 坐标中原点处的第二基本形式是二次型 L d x 2 2 M d x d y N d y 2 displaystyle Ldx 2 2Mdxdy Ndy 2 nbsp 对 参数曲面S 上一个光滑点 p 总可以选取坐标系使得坐标的 z 平面与 S 切于 p 然后可以相同的方式定义第二基本形式 经典记号 编辑 一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下 设 r r u v 是 R3 中一个正则参数曲面 这里 r 是两个变量的光滑向量值函数 通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 ru 与 rv 参数化的正则性意味着 ru 与 rv 对 r 的定义域中任何 u v 是线性无关的 等价地 叉积 ru rv 是曲面的一个非零法向量 参数化这样就定义了一个单位法向量场 n u v n r u r v r u r v displaystyle mathbf n frac mathbf r u times mathbf r v mathbf r u times mathbf r v nbsp 第二基本形式通常写成 I I L d u 2 2 M d u d v N d v 2 displaystyle mathrm II Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 nbsp 在基 ru rv 下的矩阵是 L M M N displaystyle begin bmatrix L amp M M amp N end bmatrix nbsp 在参数化 uv 平面上一个给定点处系数 L M N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出 利用点积可计算如下 L r u u n M r u v n N r v v n displaystyle L mathbf r uu cdot mathbf n quad M mathbf r uv cdot mathbf n quad N mathbf r vv cdot mathbf n nbsp 现代记法 编辑 一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下 设 r r u1 u2 是 R3 中一个正则参数曲面 这里 r 是两个变量的光滑向量值函数 通常记 r 关于 ua 的偏导数为 ra a 1 2 参数化的正则性意味着 r1 与 r2 在 r 的定义域上是线性无关的 从而在每一点张成 S 的切空间 等价地 叉积 r1 r2 是曲面的一个非零法向量 这样参数化定义了一个单位法向量场 n n r 1 r 2 r 1 r 2 displaystyle mathbf n frac mathbf r 1 times mathbf r 2 mathbf r 1 times mathbf r 2 nbsp 第二基本形式通常写作 I I b a b d u a d u b displaystyle mathrm II b alpha beta du alpha du beta nbsp 上式使用了爱因斯坦求和约定 在参数 u1 u2 曲面给定点处系数 bab 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出 利用点积可写成 b a b r a b n displaystyle b alpha beta mathbf r alpha beta cdot mathbf n nbsp 黎曼流形中的超曲面 编辑在欧几里得空间中 第二基本形式由 I I v w d n v w displaystyle I I v w langle d nu v w rangle nbsp 给出 这里 n displaystyle nu nbsp 是高斯映射 而 d n displaystyle d nu nbsp 是 n displaystyle nu nbsp 的微分视为一个向量值微分形式 括号表示欧几里得空间的度量张量 更一般地 在一个黎曼流形上 第二基本形式是描述一个超曲面形算子 记作 S 的等价方法 I I v w S v w v n w n v w displaystyle mathrm I mathrm I v w langle S v w rangle langle nabla v n w rangle langle n nabla v w rangle nbsp 这里 v w displaystyle nabla v w nbsp 表示周围空间的共变导数 n 超曲面上一个法向量场 如果仿射联络是无挠的 则第二基本形式是对称的 第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取 这称为曲面的余定向 对欧几里得空间中的曲面 等价于给定曲面的一个定向 推广为任意餘维数 编辑 第二基本形式可以推广到任意餘維數 在这种情形下 它是切空间上取值于法丛的一个二次型 可以定义为 I I v w v w displaystyle mathrm I mathrm I v w nabla v w bot nbsp 这里 v w displaystyle nabla v w bot nbsp 表示共变导数 v w displaystyle nabla v w nbsp 到法丛的正交投影 在欧几里得空间中 子流形的曲率张量可以描述为下列公式 R u v w z I I u z I I v w I I u w I I v z displaystyle langle R u v w z rangle langle mathrm I mathrm I u z mathrm I mathrm I v w rangle langle mathrm I mathrm I u w mathrm I mathrm I v z rangle nbsp 这叫做高斯方程 可以视为高斯绝妙定理的推广 在一个标准正交基中第二基本形式的本征值 是曲面的主曲率 一组正交规范本征向量称为主方向 对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率 如果 N 是嵌入黎曼流形 M g 中一个流形 则 N 在诱导度量下的曲率张量 R N displaystyle R N nbsp 可以用第二基本形式与 M 的曲率张量 R M displaystyle R M nbsp 表示出来 R N u v w z R M u v w z I I u z I I v w I I u w I I v z displaystyle langle R N u v w z rangle langle R M u v w z rangle langle mathrm I mathrm I u z mathrm I mathrm I v w rangle langle mathrm I mathrm I u w mathrm I mathrm I v z rangle nbsp 相关条目 编辑第一基本形式 高斯曲率 高斯 科达齐方程参考文献 编辑Guggenheimer Heinrich Chapter 10 Surfaces Differential Geometry Dover 1977 ISBN 0 486 63433 7 Kobayashi Shoshichi and Nomizu Katsumi Foundations of Differential Geometry Vol 2 Wiley Interscience 1996 New edition ISBN 0471157325 请检查 date 中的日期值 帮助 Spivak Michael A Comprehensive introduction to differential geometry Volume 3 Publish or Perish 1999 ISBN 0 914098 72 1 外部链接 编辑关于第二基本形式的几何的一篇博士论文 作者为 Steven Verpoort https lirias kuleuven be bitstream 1979 1779 2 hierrrissiedan pdf 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 第二基本形式 amp oldid 74151586, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,