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2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
2的平方根2的平方根 |
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命名 |
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名稱 | 2的算術平方根 2的主平方根 根号2 |
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識別 |
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種類 | 無理數 |
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符號 | |
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性質 |
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連分數 | |
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以此為根的多項式或函數 | |
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表示方式 |
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值 | 1.414213562... |
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二进制 | 1.011010100000100111100110… |
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十进制 | 1.414213562373095048801688… |
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十六进制 | 1.6A09E667F3BCC908B2FB1366… |
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其最初65位為
- 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… (OEIS數列A002193)
是无理数的证明 编辑
人們發現了许多方法证明 是无理数。以下是反證法的證明
常見的證明 编辑
- 假設 是有理數,即有整數 、 ,使得
- 將 重寫成最簡分數 ,即 和 互質,且
- 所以 ,即
- 因為 必為偶数,故 亦是偶数
- 故 為偶数(奇数的平方不會是偶数)
- 所以必有一整數 ,使得
- 將(3)的式子代入(6):
- 化简得
- 因为 是偶数,所以 是偶数, 亦是偶数
- 所以 和 都是偶数,跟 是最簡分數的假設矛盾
- 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤, 不是有理數,即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數 ,其算術平方根 為無理數。
另一個證明 编辑
另外一個 是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:
- 假設 是有理數,便可以表示成最簡分數 ,其中 , 為正整數
-
- 由於 ,所以
- 因為
-
- 所以
- 故 是比 更簡的分數,與 是最簡分數的假設矛盾
從一個直角邊為 ,斜邊為 的等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為 ,斜邊為 的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。
性质 编辑
2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积:
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-
-
-
-
2的算术平方根的连分数展开式为:
-
[註 1]
註釋 编辑
註:
- ^ 令 , 由觀察可知 ,即 , 解方程,取正根,得 , 因此 。
参见 编辑
外部链接 编辑
- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強(页面存档备份,存于互联网档案馆)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解 — 根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第 30 卷 第 4 期)