T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
九月 03, 2023
狄利克雷定理, 此条目的主題是数论中的定理, 关于数学其他领域的, 請見, 消歧义, 是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理, 对于任意互质正整数对, displaystyle, 模n, displaystyle, 同余r, displaystyle, 的质数集合, displaystyle, equiv, bmod, prime, 相对质数集合, displaystyle, prime, 的密度为1, displaystyle, frac, 目录, 定理内容, 质数在同余类中的分布, 相關. 此条目的主題是数论中的定理 关于数学其他领域的狄利克雷定理 請見 狄利克雷定理 消歧义 狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理 对于任意互质正整数对 r N displaystyle r N 模N displaystyle N 同余r displaystyle r 的质数集合 x r x mod N x i s p r i m e displaystyle x r equiv x bmod N x is prime 相对质数集合 x x i s p r i m e displaystyle x x is prime 的密度为1 ϕ N displaystyle frac 1 phi N 目录 1 定理内容 1 1 质数在同余类中的分布 2 相關定理 3 歷史 4 推廣 5 參考定理内容 编辑狄利克雷定理表明 若 r N displaystyle r N nbsp 互质 则lim x p x N r p x 1 ϕ N displaystyle lim x to infty frac pi x N r pi x frac 1 phi N nbsp 其中 ϕ N displaystyle phi N nbsp 为欧拉函数 p x displaystyle pi x nbsp 为质数计数函数 p x N r displaystyle pi x N r nbsp 为模N displaystyle N nbsp 同余r displaystyle r nbsp 集合中小于x displaystyle x nbsp 的质数个数 质数在同余类中的分布 编辑 狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布 形象地说 在模N displaystyle N nbsp 同余类中 除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合 质数的分布是大致均匀的 以N 6 displaystyle N 6 nbsp 为例 共有 0 1 2 3 4 5 displaystyle 0 1 2 3 4 5 nbsp 共6 displaystyle 6 nbsp 个模N displaystyle N nbsp 同余集合 其中同余集合 0 2 3 4 displaystyle 0 2 3 4 nbsp 不包含或只含有限个质数 剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 1 5 displaystyle 1 5 nbsp 中 在不大于10 000 displaystyle 10 000 nbsp 的质数中 质数在 1 5 displaystyle 1 5 nbsp 中的比率分别为49 67 displaystyle 49 67 nbsp 和50 16 displaystyle 50 16 nbsp 在不大于100 000 displaystyle 100 000 nbsp 的质数中 质数在 1 5 displaystyle 1 5 nbsp 中的比率分别为49 88 displaystyle 49 88 nbsp 和50 10 displaystyle 50 10 nbsp 在不大于1 000 000 displaystyle 1 000 000 nbsp 的质数中 质数在 1 5 displaystyle 1 5 nbsp 中的比率分别为49 98 displaystyle 49 98 nbsp 和50 02 displaystyle 50 02 nbsp 以N 8 displaystyle N 8 nbsp 为例 共有 0 1 2 3 4 5 6 7 displaystyle 0 1 2 3 4 5 6 7 nbsp 共8 displaystyle 8 nbsp 个模N displaystyle N nbsp 同余集合 其中同余集合 0 2 4 6 displaystyle 0 2 4 6 nbsp 不包含或只含有限个质数 剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 1 3 5 7 displaystyle 1 3 5 7 nbsp 中 不大于10 000 displaystyle 10 000 nbsp 的质数中 质数在 1 3 5 7 displaystyle 1 3 5 7 nbsp 中的比率分别为23 98 25 28 25 53 displaystyle 23 98 25 28 25 53 nbsp 和25 12 displaystyle 25 12 nbsp 在不大于100 000 displaystyle 100 000 nbsp 的质数中 质数在 1 3 5 7 displaystyle 1 3 5 7 nbsp 中的比率分别为24 85 25 12 25 01 displaystyle 24 85 25 12 25 01 nbsp 和25 01 displaystyle 25 01 nbsp 在不大于1 000 000 displaystyle 1 000 000 nbsp 的质数中 质数在 1 3 5 7 displaystyle 1 3 5 7 nbsp 中的比率分别为24 91 25 04 25 00 displaystyle 24 91 25 04 25 00 nbsp 和25 06 displaystyle 25 06 nbsp 相關定理 编辑歐幾里得證明了有無限個質數 即有無限多個質數的形式如2 n 1 displaystyle 2n 1 nbsp 算術級數的質數定理 若a d displaystyle a d nbsp 互質 則有 p x p a mod d 1 1 ϕ d x ln x displaystyle sum p leq x quad p equiv a pmod d 1 sim frac 1 phi d frac x ln x nbsp 其中f是歐拉函數 取d 2 displaystyle d 2 nbsp 可得一般的質數定理 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍 算術級數a n d displaystyle a nd nbsp 中最小的質數少於c d L displaystyle cd L nbsp 其中L displaystyle L nbsp 和c displaystyle c nbsp 均為常數 但這兩個常數的最小值尚未找到 柴伯塔瑞夫密度定理 英语 Chebotarev s density theorem 是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣 歷史 编辑歐拉曾以 1 p displaystyle sum frac 1 p infty nbsp 來證明質數有無限個 約翰 彼得 狄利克雷得以靈感 借助證明 p a mod d 1 p displaystyle sum p equiv a pmod d 1 p infty nbsp 來證明算術級數中有無限個質數 這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數 應用了一些解析數學的技巧 是解析數論的重要里程碑 推廣 编辑這個定理的一些推廣形式 但是都還只是未被證明的猜想而已 並不是定理 布尼亞科夫斯基猜想 推廣至 gt 2次的多項式 狄克森猜想 推廣至 gt 2個多項式 欣策爾假設H 英语 Schinzel s hypothesis H 上述兩個推廣合併參考 编辑T M Apostol 1976 Introduction to Analytic Number Theory Springer Verlag ISBN 0 387 90163 9 Chapter 7 取自 https zh wikipedia org w index php title 狄利克雷定理 amp oldid 76106688, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,