布尼亚科夫斯基猜想

布尼亚科夫斯基猜想是由俄罗斯数学家布尼亚科夫斯基（英语：Viktor Bunyakovsky）于1857年提出的觀點，以判定單變數的整係數多項式${\displaystyle f(x)}$的序列中是否會出現無限個質數。以下三个条件是${\displaystyle f(x)}$滿足前述造出無限質數的必要條件：

1. 首項係數为正，
2. 多项式在整数上是不可约的，
3. ${\displaystyle f(1)}$，${\displaystyle f(2)}$，${\displaystyle f(3)}$，…，${\displaystyle f(n)}$沒有公因數。

而布尼亚科夫斯基猜想这些条件就足够了：也就是說如果${\displaystyle f(x)}$滿足前面3點條件，則存在無限多個正整數${\displaystyle n}$使${\displaystyle f(n)}$是質數。

三个条件的討論

第一个条件是必要的，因为如果首項系数是负的那么對所有夠大的${\displaystyle x}$ 都有${\displaystyle f(x)<0}$ ，特別的，對夠大的正整數${\displaystyle n}$ 都有${\displaystyle f(n)}$ 是負數，從而非質數。（这裡需要有素数为正的約定。 ）

第二个条件是必要的，因为如果${\displaystyle f(x)=g(x)\times h(x)}$ ，其中${\displaystyle g(x)}$ ，${\displaystyle h(x)}$ 都是整係數多項式，那麼由於${\displaystyle g(x)}$ 和${\displaystyle h(x)}$ 都只能有限次的等於-1，0，1，因此${\displaystyle f(x)}$ 都有可能會是合數。

第三个条件是必要的，這也是顯而易見的。

參見

• X²+1質數
• 狄利克雷定理
• 狄克森猜想
• 欣策爾假設H（英语：Schinzel's hypothesis H）