自然密度

自然密度（英語：natural density），又称渐进密度（英語：asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

简介

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数${\displaystyle n}$ 都可以找到对应的平方数${\displaystyle n^{2}}$ 与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集${\displaystyle A}$ 和整数区间${\displaystyle [1,n]}$ ：

如果从整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 中随机选取一个整数，那么这个整数属于${\displaystyle A}$ 的概率应该等于${\displaystyle A}$ 与整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 的交集中的所有元素在整数区间${\displaystyle [1,n]}$ 中的占比。当${\displaystyle n}$ 趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为${\displaystyle A}$ 的自然密度。

${\displaystyle A}$ 的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于${\displaystyle A}$ 的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论（英语：Probabilistic number theory）的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

定义

对于一个自然数集的子集${\displaystyle A}$ ，当${\displaystyle n}$ 趋向于无穷时，若${\displaystyle A}$ 中不大于${\displaystyle n}$ 的元素个数与${\displaystyle n}$ 的比值收敛到${\displaystyle \alpha }$ ，则称${\displaystyle A}$ 的自然密度为${\displaystyle \alpha }$ 。

更进一步，若定义${\displaystyle a(n)}$ 为${\displaystyle A}$ 里不大于${\displaystyle n}$ 的元素个数，那么命题“${\displaystyle A}$ 的自然密度为${\displaystyle \alpha }$ ”等效于：

${\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }$ ，当${\displaystyle n\to \infty }$ ^[1]

从定义中可以看出，若${\displaystyle \alpha }$ 是某个集合${\displaystyle A}$ 的自然密度，则一定有${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$ 。

上自然密度

设${\displaystyle A}$  是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ 的一个子集。对任何${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，定义${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}$ ，${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$ 。

则${\displaystyle A}$ 的上自然密度（英語：upper asymptotic density）为：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ 

其中${\displaystyle \limsup }$ 是上极限。 ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ 也可简称为${\displaystyle A}$ 的上密度。 

下自然密度

同样地，定义A的下自然密度（英語：lower asymptotic density）为：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ 

自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说${\displaystyle A}$ 的自然密度${\displaystyle d(A)}$ 是：

若${\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}$ ，则${\displaystyle d(A)}$ 等于${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ （或${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$  ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$ （若极限存在）^[2]

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

若将自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$ 的子集${\displaystyle A}$ 写作一个递增数列：

${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}$ 

那么

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$ 

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$ 

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$ （若极限存在）

推广

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英語：upper Banach density）。对于${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ ，定义${\displaystyle d^{*}(A)}$ 为：

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}$ 

性质

• 若对于集合${\displaystyle A}$ 存在${\displaystyle d(A)}$ ，则对于其补集${\displaystyle A^{\complement }}$ ，${\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}$ 成立。
• 若${\displaystyle d(A)}$ ，${\displaystyle d(B)}$ 及${\displaystyle d(A\cup B)}$ 均存在，则${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}$ 成立。
• 自然数集的自然密度为${\displaystyle 1}$ ，即${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$ 成立。
• 对于自然数集的任意有限子集${\displaystyle F}$ , 有${\displaystyle d(F)=0}$ 成立。
• 对于平方数集${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)=0}$ 成立。
• 对于偶数集${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)=0.5}$ 成立。更一般地，对于等差级数组成的集合${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$ ，有${\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}$ 成立。
• 对于质数集合${\displaystyle P}$ ，由质数定理知：${\displaystyle d(P)=0}$ 成立。
• 无平方数因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$ 。更一般地，无${\displaystyle n}$ 次方因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}$ ，其中${\displaystyle \zeta (n)}$ 是黎曼ζ函數。
• 过剩数集合具有非零的自然密度^[3]。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间^[4]。
• 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}$ ，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$ 

而其下自然密度为：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$ 

• 同样，所有十进制表示法中以${\displaystyle 1}$ 开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$ 而其下自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$ 。^[1]
• 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列（英语：equidistributed sequence）${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ，定义单调集族${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ :

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}$ 

则依定义有：

对于任意的${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle d(A_{x})=x}$ 。

• 若${\displaystyle S}$ 有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理（英语：Szemerédi's theorem）表明${\displaystyle S}$ 包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理（英语：Furstenberg–Sárközy theorem）表明，${\displaystyle S}$ 内一定存在差为平方数的两个元素。

其他密度函数

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合${\displaystyle A}$ 的对数密度（英語：logarithmic density）可以定义为：

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}$ （若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关条目

• 狄利克雷密度（英语：Dirichlet density）
• 施尼勒尔曼密度

参考

• Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan. . Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始内容存档于2020-08-21）. 
• Steuding, Jörn. (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始内容 (PDF)存档于December 22, 2011）. 
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001. 

参考文献

1. Tenenbaum (1995) p.261
2. Nathanson (2000) pp.256–257
3. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001. 
4. Deléglise, Marc. . Experimental Mathematics. 1998, 7 (2): 137–143 [2018-10-18]. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. （原始内容存档于2020-10-13）.