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四月 11, 2024
弱微分, 在数学中, weak, derivative, 是一个函数的微分, 强微分, 概念的推广, 它可以作用于那些勒贝格可积, lebesgue, integrable, 的函数, 而不必预设函数的可微性, 事实上大部分可以的函数并不可微, 一个典型的勒贝格可积函数的空间是l1, displaystyle, 在分布中, 可以定义一个更一般的微分概念, 目录, 定义, 例子, 性质, 参见, 参考文献定义, 编辑命u, displaystyle, nbsp, 是一个在l1, displaystyle, nbsp,. 在数学中 弱微分 Weak Derivative 是一个函数的微分 强微分 概念的推广 它可以作用于那些勒贝格可积 Lebesgue Integrable 的函数 而不必预设函数的可微性 事实上大部分可以弱微分的函数并不可微 一个典型的勒贝格可积函数的空间是L1 a b displaystyle L 1 a b 在分布中 可以定义一个更一般的微分概念 目录 1 定义 2 例子 3 性质 4 参见 5 参考文献定义 编辑命u displaystyle u nbsp 是一个在L1 q p displaystyle L 1 q p nbsp 中的勒贝格可积的函数 称v L1 q p displaystyle v in L 1 q p nbsp 是u displaystyle u nbsp 的一个弱微分 如果 qpu t f t dt qpv t f t dt displaystyle int q p u t varphi t dt int q p v t varphi t dt nbsp 其中f displaystyle varphi nbsp 是任意一个连续可微的函数 并且满足f p f q 0 displaystyle varphi p varphi q 0 nbsp 推广到n displaystyle n nbsp 维的情形 如果u displaystyle u nbsp 和v displaystyle v nbsp 是Lloc1 U displaystyle L loc 1 U nbsp 中的函数 在某个开集U Rn displaystyle U subset mathbb R n nbsp 中局部可积 并且a displaystyle alpha nbsp 是一个多重指标 那么v displaystyle v nbsp 称为u displaystyle u nbsp 的a displaystyle alpha nbsp 次弱微分 如果 UuDaf 1 a Uvf displaystyle int U uD alpha varphi 1 alpha int U v varphi nbsp 其中f Cc U displaystyle varphi in C c infty U nbsp 是一个任意给定的函数 即给定的支撑集含于U displaystyle U nbsp 的无穷可微的函数 如果u displaystyle u nbsp 的弱微分存在 一般被记为Dau displaystyle D alpha u nbsp 可以证明 一个函数的弱微分在测度意义是唯一的 即如果有两个不同的弱微分 其仅可能在一个零测集上存在差异 例子 编辑函數 u 1 1 0 1 t u t t displaystyle u 1 1 to 0 1 t mapsto u t t nbsp 在 t 0 displaystyle t 0 nbsp 並不可微 但具有以下被稱為符號函數的弱微分 v 1 1 1 1 t v t 1ift gt 00ift 0 1ift lt 0 displaystyle v 1 1 to 1 1 t mapsto v t begin cases 1 quad amp textrm if t gt 0 0 quad amp textrm if t 0 1 quad amp textrm if t lt 0 end cases nbsp 性质 编辑如果两个函数是相同函数的弱导数 那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等 也就是说 它们几乎处处相等 如果我们考虑函数的等价类 其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等 那么弱导数是唯一的 此外 如果u是可微的 那么它的弱导数与导数相同 因此弱导数是导数的推广 更进一步 两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的 参见 编辑次导数参考文献 编辑Gilbarg David Trudinger Neil S Elliptic partial differential equations of second order Berlin Springer 2001 149 ISBN 3 540 41160 7 Evans Lawrence C Partial differential equations Providence R I American Mathematical Society 1998 242 ISBN 0 8218 0772 2 Knabner Peter Angermann Lutz Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations New York Springer 2003 53 ISBN 0 387 95449 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 弱微分 amp oldid 73892300, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,