逻辑异或

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在数字逻辑中，逻辑算符互斥或（英語：Exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。^[1]

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}}$ 的文氏图

对于命题 ${\displaystyle p,q}$，${\displaystyle p}$异或${\displaystyle q}$通常记作${\displaystyle p\operatorname {XOR} q}$或${\displaystyle p\oplus q}$。在编程语言中，常写作p ^ q。

逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。

真值表

异或运算${\displaystyle p\oplus q}$ 的真值表如下：

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\oplus q}$
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False
注：True：真，False：假。

无论怎样改变同一行中${\displaystyle p,q,p\oplus q}$ 的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以使用逻辑算符逻辑与${\displaystyle \land }$ ，逻辑或${\displaystyle \lor }$ 和逻辑非${\displaystyle \lnot }$ 表示为：

${\displaystyle {\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}}$ 

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

${\displaystyle p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))}$ 

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：${\displaystyle p\oplus q=q\oplus p}$ 

结合律：${\displaystyle p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r}$ 

恒等律：${\displaystyle p\oplus 0=p}$ 

归零律：${\displaystyle p\oplus p=0}$ 

对合运算：${\displaystyle p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p}$ 

与抽象代數的關係

尽管算子${\displaystyle \wedge }$ （逻辑合取）与${\displaystyle \lor }$ （逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统${\displaystyle (\{T,F\},\wedge )}$  and ${\displaystyle (\{T,F\},\lor )}$ 只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统${\displaystyle (\{T,F\},\oplus )}$ 是一个交换群。因此，算子${\displaystyle \wedge }$ 与${\displaystyle \oplus }$ 的结合在集合${\displaystyle \{T,F\}}$ 上作用就产生了最基本的二元域${\displaystyle F_{2}}$ 。这个域可以得出所有运用${\displaystyle (\land ,\lor )}$ 可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	🜨	U+2295		带有赤道和一條經線的球體

應用

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

C/C++

void swap(int *a, int *b) {  *a ^= *b;  *b ^= *a;  *a ^= *b; } 

Java

public void swap(int a, int b) {  a ^= b;  b ^= a;  a ^= b; } 

C#

public void swap(ref int a,ref int b) {  a ^= b;  b ^= a;  a ^= b; } 

Rust

fn swap<'a, 'b>( num_a: &'a mut i32, num_b: &'b mut i32 ) {  *num_a ^= *num_b;  *num_b ^= *num_a;  *num_a ^= *num_b; } 

雖然XOR運算可用來交換變數，但比起使用額外變數來交換變數的做法相比，效能反而比較差。

参考来源

1. Germundsson, Roger; Weisstein, Eric. XOR. MathWorld. Wolfram Research. [17 June 2015]. 

参见

• 异或门
• 异或密码