完全数 (Perfect number ),又稱完美數 或完備數 ,是一些特殊的自然数 :它所有的真因子 (即除了自身以外的约数)的和,恰好等於它本身,完全数不可能是楔形數 、平方數 、佩爾數 或費波那契數 。
以古氏積木 演示完全數6 例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加, 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6} ,恰好等於本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28} ,也恰好等於本身。后面的数是496 、8128 。
十進位 的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數,它們不是虧數 就是盈數 。
完全數的發現 古希腊数学家欧几里得 是通过 2 n − 1 × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)} 的表达式发现前四个完全数的。
当 n = 2 : {\displaystyle n=2:} 2 1 × ( 2 2 − 1 ) = 6 {\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6} 当 n = 3 : {\displaystyle n=3:} 2 2 × ( 2 3 − 1 ) = 28 {\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28} 当 n = 5 : {\displaystyle n=5:} 2 4 × ( 2 5 − 1 ) = 496 {\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496} 当 n = 7 : {\displaystyle n=7:} 2 6 × ( 2 7 − 1 ) = 8128 {\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128} 一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式: 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ,其中 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 是素数,此事實的充分性由欧几里得证明,而必要性則由歐拉 所證明。
比如,上面的 6 {\displaystyle 6} 和 28 {\displaystyle 28} 对应着 n = 2 {\displaystyle n=2} 和 3 {\displaystyle 3} 的情况。我们只要找到了一个形如 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 的素数 (即梅森素数 ),也就知道了一个偶完美数。
尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔 证明,若有奇完全数,则其形式必然是 12 p + 1 {\displaystyle 12p+1} 或 36 p + 9 {\displaystyle 36p+9} 的形式,其中 p {\displaystyle p} 是素数。
首十個完全數是( A000396 ):
6 (1位) 28 (2位) 496 (3位) 8128 (4位) 33550336(8位) 8589869056(10位) 137438691328(12位) 2305843008139952128(19位) 2658455991569831744654692615953842176(37位) 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(54位) 历史 古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当 n = 11 {\displaystyle n=11} 的时候,可是 2 11 − 1 = 23 × 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} 并不是素数。因此 n = 11 {\displaystyle n=11} 不是完全数。另外两个错误假设 是:
头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数,第五个应该是 5 位数。 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。 事实上,第五个完全数 33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 是 8 {\displaystyle 8} 位数。
对于第二个假设,第五个完全数确实是以 6 {\displaystyle 6} 结尾,但是1588年,意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪 計出第六个完全数 8589869056 {\displaystyle 8589869056} ,仍是以 6 {\displaystyle 6} 结尾,只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 {\displaystyle 6} 和 8 {\displaystyle 8} 结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外,還計出第七個完全數137,438,691,328。[1] [2] [3]
对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本 》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数 给出一个偶完全数;反之,每個偶完全數給出一個梅森素數,這結果稱為歐幾里得-歐拉定理 。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全數為 2 82589932 × ( 2 82589933 − 1 ) {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 共有 49724095 {\displaystyle 49724095} 位數。
性质 以下是目前已發現的完全數共有的性質。
28 {\displaystyle 28} → 2 + 8 = 10 {\displaystyle 2+8=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 496 {\displaystyle 496} → 4 + 9 + 6 = 19 {\displaystyle 4+9+6=19} → 1 + 9 = 10 {\displaystyle 1+9=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p-1}} 到 2 2 p − 2 {\displaystyle 2^{2p-2}} : 6 = 2 1 + 2 2 {\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}} 28 = 2 2 + 2 3 + 2 4 {\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}} 496 = 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 {\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}} 8128 = 2 6 + 2 7 + . . . + 2 12 {\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}} 6 = 1 + 2 + 3 {\displaystyle 6=1+2+3} 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 {\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7} 496 = 1 + 2 + 3 + . . . + 30 + 31 {\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31} 8128 = 1 + 2 + 3 + . . . + 126 + 127 {\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127} 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数 之和(被加的项共有 2 p − 1 {\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}} )[註 3] : 28 = 1 3 + 3 3 {\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}} 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 {\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}} 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 15 3 {\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}} 33550336 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 127 3 {\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}} 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數 。) 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6 + 3 + 2 + 1 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2} 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28 = 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 28 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2} 它们的二进制 表达式也很有趣:(因為偶完全數形式均如 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ) ( 6 ) 10 = ( 110 ) 2 {\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}} ( 28 ) 10 = ( 11100 ) 2 {\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}} ( 496 ) 10 = ( 111110000 ) 2 {\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}} ( 8128 ) 10 = ( 1111111000000 ) 2 {\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}} ( 33550336 ) 10 = ( 1111111111111000000000000 ) 2 {\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}} ( 8589869056 ) 10 = ( 111111111111111110000000000000000 ) 2 {\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}} ( 137438691328 ) 10 = ( 1111111111111111111000000000000000000 ) 2 {\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}} 奇完全數 用计算机已经证实:在101500 以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一個不少於7位數的質因子)但不包含3 ,亦不會是立方數 。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。
美國 數學家卡爾·帕梅朗斯 提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。[7]
奇完全数的部分条件 N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},} 其中: q ,p 1 ,…,p k 是不同的素数(Euler)。 q ≡ α ≡ 1 (mod 4)(Euler)。 N 的最小素因子必须小于 k − 1 2 . {\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.} [9] 。 e 1 {\displaystyle e_{1}} ≡ e 2 {\displaystyle e_{2}} ...≡ e k {\displaystyle e_{k}} ≡ 1(mod 3)的关系不能满足(McDaniel 1970)。 要么q α > 1062 ,要么对于某个j 有 p j 2 e j {\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}} > 1062 [8] 。 N < 2 ( 4 k + 1 − 2 k + 1 ) {\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}} [10] [11] N 必须可以写成12n+1,468n+117或324n+81(n为整数)的形式。[6] N 不能被105 整除。[12] N 的最大素因子必须大于108 [13] ,并低于 ( 3 N ) 1 / 3 {\displaystyle (3N)^{1/3}} 。[14] 。 N 的第二大素因子必须大于104 ,并低于 ( 2 N ) 1 / 5 {\displaystyle (2N)^{1/5}} 。[15] [16] 。 N 的第三大素因子必须大于100。[17] N 至少要有101个素因子,其中至少10个是不同的。[8] [18] 如果3不是素因子之一,则至少要有12个不同的素因子。[19] 如果对于所有的i ,都有 e i {\displaystyle e_{i}} ≤ 2,那么: N 的最小素因子必须大于739(Cohen 1987)。 α ≡ 1(mod 12)或α ≡ 9 (mod 12)(McDaniel 1970)。 圖查德定理 這個定理說明若存在奇完全數,其形式必如 12 m + 1 {\displaystyle 12m+1} 或 36 q + 9 {\displaystyle 36q+9} 。最初的證明在1953年由雅克·圖查德 首先證明,1951年巴爾塔薩·范德波爾 用非線性偏微分方程 得出證明。茱蒂·霍爾德納 在《美國數學月刊 》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
證明會使用這四個結果:(下面的n,k,j,m,q均為正整數)
歐拉證明了奇完全數的形式必如 4 j + 1 {\displaystyle 4j+1} 。[20] σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 表示 n {\displaystyle n} 的正因數之和。完全數的定義即為 2 n = σ ( n ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)} 。 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 為積性函數 引理(甲):若 n = 6 k − 1 {\displaystyle n=6k-1} ( k {\displaystyle k} 是正整數),則 n {\displaystyle n} 非完全數。 引理(乙):若 n = 4 k − 1 {\displaystyle n=4k-1} ( k {\displaystyle k} 是正整數),則 n {\displaystyle n} 非完全數。 引理的證明(甲):
使用反證法 ,設 n {\displaystyle n} 為完全數,且 n ≡ − 1 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}} 。
n ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}} 。因為3的二次剩餘 只有0,1,故 n {\displaystyle n} 非平方數,因此其正因數個數為偶數。
n {\displaystyle n} 有正因數 d {\displaystyle d} ,則可得:
d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}} 且 n / d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}} ;或 d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}} 且 n / d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}} 。因此, ( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}} 。故 σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}} 。
但 2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}} ,矛盾。
故 n {\displaystyle n} 的形式只可能為 6 k + 1 {\displaystyle 6k+1} 或 6 k + 3 {\displaystyle 6k+3} 。
引理的證明(乙):
使用反證法 ,設 n {\displaystyle n} 為完全數,且 n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}} 。
n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}} 。因為4的二次剩餘 只有0,1,故 n {\displaystyle n} 非平方數,因此其正因數個數為偶數。
n {\displaystyle n} 有正因數 d {\displaystyle d} ,則可得:
d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}} 且 n / d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}} ;或 d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}} 且 n / d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}} 。因此, ( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}} 。故 σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}} 。
但 2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}} ,矛盾。
故 n {\displaystyle n} 的形式只可能為 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} 。
若 n = 6 k + 1 {\displaystyle n=6k+1} ,根據歐拉的結果, n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ,綜合兩者,得 n = 12 m + 1 {\displaystyle n=12m+1} 。
若 n = 6 k + 3 {\displaystyle n=6k+3} , n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ,得 n = 12 m + 9 = 3 ( 4 m + 3 ) {\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)} 。若 m {\displaystyle m} 非3 的倍數 ,3和 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} 互質。
因為 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 為積性函數,可得 σ ( n ) = σ ( 3 ) σ ( 4 m + 3 ) = 4 σ ( 4 m + 3 ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}} 。
但 2 n = 2 ( 4 j + 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}} ,出現了矛盾。故知 m {\displaystyle m} 是3 的倍數 。代入 m = 3 q {\displaystyle m=3q} ,可得 n = 36 q + 9 {\displaystyle n=36q+9} 。
參考 Odd Perfect Numbers(页面存档备份,存于互联网档案馆 ), Gagan Tara Nanda 註釋 參考資料 ^ Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10. ^ Pickover, C. . Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08 ] . ISBN 0-19-515799-0 . (原始内容存档于2022-03-22). ^ Peterson, I. . Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08 ] . ISBN 88-8358-537-2 . (原始内容存档于2021-11-08). ^ 4.0 4.1 H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16. ^ 5.0 5.1 Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25. ^ 6.0 6.1 6.2 Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF) . Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15 ] . (原始内容 (PDF) 于2013-05-14). ^ . [2006-07-26 ] . (原始内容存档于2006-12-29). ^ 8.0 8.1 8.2 Ochem, Pascal; Rao, Michaël. (PDF) . Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03 ] . ISSN 0025-5718 . Zbl 1263.11005 . doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . (原始内容 (PDF) 存档于2016-01-15). ^ Zelinsky, Joshua. (PDF) . Integers. 3 August 2021, 21 [7 August 2021] . (原始内容 (PDF) 存档于2021-11-03). ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E. Improved upper bounds for odd multiperfect numbers.. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014, 89 (3): 353–359. ^ Nielsen, Pace P. . Integers. 2003, 3 : A14–A22 [23 March 2021] . (原始内容存档于2003-02-21). ^ Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52 : 202–211. doi:10.1007/BF02230691 (德语) . ^ Goto, T; Ohno, Y. (PDF) . Mathematics of Computation. 2008, 77 (263): 1859–1868 [30 March 2011] . Bibcode:2008MaCom..77.1859G . doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . (原始内容 (PDF) 存档于2011-08-07). ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter. On Prime Factors of Odd Perfect Numbers. International Journal of Number Theory. 2012, 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935 . ^ Zelinsky, Joshua. Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number. International Journal of Number Theory. July 2019, 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734 . doi:10.1142/S1793042119500659 . . ^ Iannucci, DE. (PDF) . Mathematics of Computation. 1999, 68 (228): 1749–1760 [30 March 2011] . Bibcode:1999MaCom..68.1749I . doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . (原始内容 (PDF) 存档于2021-11-03). ^ Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF) . Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011] . Bibcode:2000MaCom..69..867I . doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . (原始内容 (PDF) 于2013-05-17). ^ Nielsen, Pace P. (PDF) . Mathematics of Computation. 2015, 84 (295): 2549–2567 [13 August 2015] . doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . (原始内容 (PDF) 存档于2015-07-08). ^ Nielsen, Pace P. (PDF) . Mathematics of Computation. 2007, 76 (260): 2109–2126 [30 March 2011] . Bibcode:2007MaCom..76.2109N . arXiv:math/0602485 . doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4 . (原始内容 (PDF) 存档于2021-11-03). ^ [1] [永久失效連結 ] 參見 外部链接 Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers(页面存档备份,存于互联网档案馆 ) Perfect numbers – History and Theory(页面存档备份,存于互联网档案馆 ) 埃里克·韦斯坦因 . Perfect Number. MathWorld . Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation. A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers. Great Internet Mersenne Prime Search[永久失效連結 ] Perfect Numbers(页面存档备份,存于互联网档案馆 ), math forum at Drexel. Grimes, James. . Numberphile. Brady Haran . [2015-01-10 ] . (原始内容存档于2013-05-31).