图 (拓扑)

拓扑学中，图指拓扑空间，由通常的图${\displaystyle G=(E,V)}$将顶点替换为点、将边${\displaystyle e=xy\in E}$替换为单位区间${\displaystyle I=[0,1]}$（当中0为与x相关的点，1为与y相关的点）。即，作为拓扑空间，图恰恰是1维单纯复形，也是1维CW复形。^[1]

于是，在用于胶合的商映射下，它具有集合的商拓扑

${\displaystyle X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}}$

当中${\displaystyle X_{0}}$是0骨架（对每个顶点${\displaystyle x\in V}$含一个点），${\displaystyle I_{e}}$是与之胶合的闭区间，每个边${\displaystyle e\in E}$有一个，${\displaystyle \sqcup }$是不交并。^[1]

这空间上的拓扑即称作图拓扑。

子图与树

图X的子图是子空间${\displaystyle Y\subseteq X}$ ，也是图，且节点都包含在X的0骨架中。Y是子图，当且仅当其包含来自X的顶点和边，且封闭。^[1]

若子图${\displaystyle T\subseteq X}$ 作为拓扑空间可收缩，则称作树。^[1]这等同于图论中树的通常定义，即无环连通图。

性质

• 当且仅当原图是连通图，图的关联拓扑空间才连通（关于图拓扑）。
• 每个连通图X至少包含一棵极大树${\displaystyle T\subseteq X}$ ，即就集合包含在X的子树上诱导的阶来说，此树是最大的。^[1]
• 若X是图，${\displaystyle T\subseteq X}$ 是极大树，则基本群${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 等于由元素${\displaystyle (f_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ 生成的自由群，当中${\displaystyle \{f_{\alpha }\}}$ 双射对应于${\displaystyle X\setminus T}$ 的边；事实上，X与圆的楔和同伦等价。^[1]
• 按上述方式形成与图关联的拓扑空间，相当于图范畴到拓扑空间范畴的函子。

• 每个投影到图的覆叠空间也是图。^[1]

另见

• 图同调
• 拓扑图论
• 尼尔森–施赖埃尔定理，其标准证明使用了这一概念。

参考文献

1. Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002: 83ff. ISBN 0-521-79540-0.