拓扑图论

此條目介紹的是图嵌入的研究。关于平面上有交叉的图，请见「拓扑图」。

拓扑图论是图论的一个分支，研究曲面中的图嵌入、图的空间嵌入及作为拓扑空间的图，^[1]还研究图的浸入。

帕普斯图是嵌入及在环面中的相关映射

将图嵌入曲面意味着在曲面（如球面）上绘制图，而不使两条边相交。常作为数学谜题的基本嵌入问题是三间小屋问题，其他应用如印刷电子电路，即在电路板（面）上印刷（嵌入）电路（图），且不短路。

作为拓扑空间的图

参见：图 (拓扑)和图同调

对无向图，可将抽象单纯复形C与每个顶点的单元素集同每个边的2元素集联系起来。复形的几何实现|C|由每条边的单位区间[0,1]的副本组成，这些区间的端点在顶点处粘合在一起。这样来看，将图嵌入曲面或作为其他图的细分都是拓扑嵌入的实例，图同胚只是拓扑同胚的特例，连通图的概念与拓扑连通重合，并且当且仅当连通图的基本群平凡时，才是树。

与图相关的其他单纯复形还有团复形 （以图的每个团为集合）与匹配复形（以图的每个匹配为集合）（等同于线图补集的团复形） 。完全二分图的匹配复形称作棋盘复形，因为其也可描述为棋盘上非攻击车集合的复形。^[2]

实例研究

约翰·霍普克洛夫特和罗伯特·塔扬^[3]提出了一种图的平面性检验的方法，且用时与边数成线性关系。他们的算法通过构建图嵌入（他们称作“棕榈树”）实现。高效的平面性检验是图形绘制的基础。

金芳蓉等人^[4]研究了书嵌入问题，图的顶点沿书脊排列，图的边分别绘制在不同页上，使同一页的边不交叉。这个问题抽象了多层印刷电路板布线问题。

通过图子式理论和图结构定理，图嵌入还可用于证明图的结构结果。

另见

• 交叉数
• 亏格
• 平面图 (图论)
• 实树
• 环形拓扑
• 拓扑组合数学
• 电压图

参考

1. Gross, J.L.; Tucker, T.W. Topological graph theory. Dover. 2012 [1987] [2024-01-19]. ISBN 978-0-486-41741-7. （原始内容于2022-09-30）. 
2. Shareshian, John; Wachs, Michelle L. Torsion in the matching complex and chessboard complex. Advances in Mathematics. 2007, 212 (2): 525–570. CiteSeerX 10.1.1.499.1516  . arXiv:math.CO/0409054  . doi:10.1016/j.aim.2006.10.014  .  已忽略未知参数|orig-date= (帮助)
3. Hopcroft, John; Tarjan, Robert E. Efficient Planarity Testing (PDF). Journal of the ACM. 1974, 21 (4): 549–568. S2CID 6279825. doi:10.1145/321850.321852. hdl:1813/6011  . 
4. Chung, F. R. K.; Leighton, F. T.; Rosenberg, A. L. Embedding Graphs in Books: A Layout Problem with Applications to VLSI Design (PDF). SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. 1987, 8 (1): 33–58 [2023-12-02]. doi:10.1137/0608002. （原始内容 (PDF)于2017-09-21）.