交叉數

在圖論，交叉數${\displaystyle {\text{cr}}(G)}$是將圖${\displaystyle G}$畫在平面上時，邊的交叉點的最小數目。若${\displaystyle {\hbox{cr}}(G)=0}$，則${\displaystyle G}$稱為平面圖。在圖形製圖（英语：graph drawing）方面，計算圖的交叉數仍是一個重要問題，因為讀者研究發現，畫圖的交叉越少，越有利於讀者理解。^[1]

希伍德圖（英语：Heawood graph）的一個畫法，其有三個交叉。此為所有畫法中，交叉個數的最小可能值，所以該圖的交叉數為 ${\displaystyle {\text{cr}}(G)=3}$。

交叉數的研究始於圖蘭磚廠問題（英语：Turán's brick factory problem）。圖蘭·帕爾想求磚廠中，將每個窯爐各與全部貨倉用路軌連接的最優方案，使路軌的交叉儘可能少。按上述定義，即是問完全二部圖的交叉數。^[2]同一問題約莫同時在社會學研究提出，因為事關社會關係圖（英语：sociogram）的繪製。^[3] 圖蘭猜想了完全二部圖交叉數的公式，但該公式迄今未獲證，完全圖的交叉數公式亦然。

交叉數不等式斷言，若邊數${\displaystyle e}$与頂點數${\displaystyle n}$的比值大于某个常数，則交叉數不小于${\displaystyle e^{3}/n^{2}}$乘以另一个固定的常数。此結論在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。

如無特別註明，交叉數允許使用任意曲線來畫邊。另一個相關概念是直線交叉數，其要求僅使用直線段來畫邊，所以未必等於交叉數。更具體說，完全圖${\displaystyle K_{n}}$的直線交叉數就是平面上處於一般位置的${\displaystyle n}$個點所能組成的凸四邊形的最少數目，因為每個凸四邊形的兩條對角線產生一個交叉。直線交叉數問題與幸福結局問題密切相關。^[4]

給定一個圖，計算其交叉數是一個NP難問題。^[5]

定義

定義交叉數之前，先定義無向圖的畫法。圖的畫法是一個映射，其將圖的頂點映到平面上互異的點，並將每條邊映到一條連接其兩端的曲線段，但頂點不能映到其他邊上（除非該邊以其為頂點），且若兩條邊的曲線段在公共頂點以外相交，則其僅產生有限多個交叉，並於每個交叉處橫截（英语：Transversality (mathematics)）相交。若一個交叉點有多於兩條邊相交，則每對相交邊計算一次。圖的交叉數是所有畫法當中，交叉的數目的最小值。^[6]

一些作者對於畫法有更多限制，例如要求每對邊的交集至多只有一點（可為公共端點或交叉）。對於上段定義的交叉數，此項限制沒有任何影響，因為交叉最少的畫法當中，兩條邊必定相交至多一次。（若兩條邊有公共端點，而且相交，則可以將首個交點以前的兩段曲線互換，從而減少一個交叉。類似地，若兩條邊有兩個或更多交叉，則可以將相鄰兩個交叉之間的兩段曲線互換，以減少兩個交叉。）然而，若考慮交叉數的變式定義，例如只計算有多少對邊交叉（稱為兩兩交叉數），而非有多少個交叉，則上述限制確實會影響兩兩交叉數的值。^[6]

特殊情況

截止2015年4月，僅得很少幾類圖的交叉數為人所知。即使是完全圖、完全二部圖、兩個環的積等結構較簡單的圖，也僅得初始幾個的交叉數是已知的，但交叉數的下界方面，已有一定進展。^[7]

完全二部圖

 

${\displaystyle K_{4,7}}$ 的一個最優畫法，顯示圖蘭磚廠問題中，若有4個倉（黃點）和7個窯（藍點），則需要18個交叉（紅點）。

主条目：圖蘭磚廠問題

在第二次世界大戰期間，匈牙利數學家圖蘭·帕爾被迫在磚廠工作，要將一車車的磚從窯爐推到貨倉。工廠的每個窯爐到每個貨倉之間各有一條路軌，而磚車在路軌交叉處特別難推。於是，圖蘭提出其磚廠問題：窯爐、貨倉和路軌應如何安排，才能使交叉的數目最少？數學上，窯爐和貨倉可視為完全二部圖的頂點，而路軌則是二部圖的邊。於是工廠的佈局就是該圖在平面上的一個畫法，換言之問題變成： 完全二部圖的畫法中，交叉的最少數目是多少？^[8]

卡齊米日·扎蘭凱維奇（英语：Kazimierz Zarankiewicz）嘗試解決圖蘭磚廠問題，^[9]但其證明有錯。不過，他成功推導出完全二部圖${\displaystyle K_{m,n}}$ 交叉數的一個上界：

${\displaystyle {\textrm {cr}}(K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor .}$ 

一個猜想是，上述上界確實是所有完全二部圖的交叉數。^[10]

完全圖與圖染色

完全圖的交叉數問題最先由安東尼·希爾（英语：Anthony Hill (artist)）提出，並於1960年出版。^[11]希爾及其合作者約翰·恩斯特（英语：John Ernest）皆為對數學甚感興趣的構成主義藝術家。兩位不僅提出了問題，還猜想了該交叉數的公式，公式由理查·蓋（英语：Richard K. Guy）於1960年出版。^[11]具體來說，已知${\displaystyle K_{p}}$ 總有一種畫法，其交叉的數目為

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-3}{2}}\right\rfloor .}$ 

上式在${\displaystyle p=5,6,\cdots ,12}$ 時，取值分別為${\displaystyle 1,3,9,18,36,60,100,150}$ ，見整數數列線上大全的A000241號數列。希爾等人猜想，不存在更好的畫法，即上式給出了完全圖的交叉數${\displaystyle {\text{cr}}(K_{p})}$ 。湯瑪士·沙提（英语：Thomas L. Saaty）於1964年獨立地作出了同一個猜想。^[12]

對於${\displaystyle p\leq 10}$ ，沙提驗證了上式確實給出交叉的最小可能數目。潘（Shengjun Pan)和布魯斯·里希特（Bruce Richter）驗證了${\displaystyle p=11,12}$ 的情況。^[13]

2007年，米高·艾伯森（Michael O. Albertson）提出了艾伯森猜想（英语：Albertson conjecture），其斷言：在所有色數為${\displaystyle p}$ 的圖之中，完全圖${\displaystyle K_{p}}$ 的交叉數最小。換言之，若此猜想與上段的猜想均成立，則每個染色數為${\displaystyle p}$ 的圖，交叉數皆不小於上段的公式。現已證明，艾伯森猜想對於${\displaystyle p\leq 16}$ 成立。^[14]

立方圖

已知交叉數為${\displaystyle 1}$ 至${\displaystyle 11}$ 的最小的立方圖，其頂點數分別為${\displaystyle 6,10,14,16,18,20,22,24,26,28,28}$ （OEIS數列A110507），如下表所記：

交叉數	最小立方圖例子	頂點數
1	完全二部圖${\displaystyle K_{3,3}}$	6
2	佩特森圖	10
3	希伍德圖（英语：Heawood graph）	14
4	莫比烏斯－坎特圖（英语：Möbius-Kantor graph）	16
5	帕普斯圖（英语：Pappus graph）	18
6	笛沙格圖（英语：Desargues graph）	20
7	有4個不同構的例子，但並無熟知命名^[15]	22
8	瑙魯圖（英语：Nauru graph）、麥基圖（英语：McGee graph）、(3,7)-籠圖（英语：cage graph）^[16]	24
9	麥基圖加某一條邊^[17]	26
10	麥基圖加某兩條邊^[17]	28
11	考克斯特圖^[18]	28

2009年，愛德華·柏奇（英语：Ed Pegg）和Geoffrey Exoo猜想交叉數為13的最小立方圖為塔特－考克斯特圖（英语：Tutte–Coxeter graph），以及交叉數為170的最小立方圖為塔特12-籠（英语：Tutte 12-cage）。^[16][19]

複雜度與近似

一般情況下，很難計算圖的交叉數。米高·加里（英语：Michael Garey）和大衛·詹森（英语：David S. Johnson）於1983年證明了計算交叉數是NP難問題。^[5]即使僅考慮立方圖^[20]，或者僅考慮將近平面的特殊情況（即可藉刪走一條邊使之變成平面圖）^[21]，問題仍然NP難。另一個相關問題是計算僅能使用直線段畫圖時，交叉數目的最小值。該最小值稱為直線交叉數（rectilinear crossing number）。該問題對於實數的存在理論（英语：existential theory of the reals）是完全的。^[22]

另一方面，對於固定的常數${\displaystyle k}$ ，有高效算法判定交叉數是否小於${\displaystyle k}$ 。換言之，交叉數問題是固定參數可馴順（英语：fixed-parameter tractable）的。^[23][24]但若${\displaystyle k}$ 不是常數，而是與輸入大小有關的函數，例如${\displaystyle k=|V|/2}$ ，則問題仍然很難。對於度數有界的圖${\displaystyle G}$ ，有高效的近似算法能夠近似計算交叉數${\displaystyle {\text{cr}}(G)}$ 。^[25]實務上，常使用啟發式算法，例如從空圖開始，逐條邊加入，使得每次產生的交叉數儘可能小。直線交叉數分布式计算計劃（Rectilinear Crossing Number project）使用了此類算法。^[26]

交叉數不等式

主条目：交叉數不等式

若無向簡單圖${\displaystyle G}$ 恰有${\displaystyle n}$ 個頂點和${\displaystyle e}$ 條邊，且${\displaystyle e>7n}$ ，則交叉數${\displaystyle {\text{cr}}(G)}$ 滿足不等式

${\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.}$ 

此種邊數、頂點數與交叉數的關係，最早由奧伊陶伊·米克洛什（英语：Miklós Ajtai）、瓦茨拉夫·赫瓦塔爾（英语：Václav Chvátal）、蒙提·紐邦（英语：Monty Newborn）、塞邁雷迪·安德烈四人^[27]和湯姆森·雷頓（英语：F. Thomson Leighton）^[28]分別獨立發現，稱為交叉數不等式或交叉數引理。不等式的上述版本是為伊爾·艾克曼（Eyal Ackerman）的結果，其中常數${\displaystyle 29}$ 為截至2019年所知最優。^[29]条件中的常數${\displaystyle 7}$ 也可以縮少至更佳的${\displaystyle 4}$ ，但代價是${\displaystyle 29}$ 要換成較差的${\displaystyle 64}$ 。^[27][28]

雷頓之所以研究交叉數，是為了理論計算機科學中，超大型積體電路設計方面的應用。^[28]其後，Székely 發現交叉數不等式用在關聯幾何方面，能夠簡短證明一些重要定理，例如塞邁雷迪－特羅特定理和貝克定理（英语：Beck's theorem (geometry)）。^[30]塔馬爾·戴伊（英语：Tamal Dey）類似地證明了幾何k-集（英语：K-set (geometry)）數的上界。^[31]

變式

若僅允許用直線段畫邊，而非任意曲線，則一些圖需要更多交叉才能畫出。對於此類畫法，交叉數目的最小可能值稱為直線交叉數。直線交叉數必不小於交叉數，甚至對某些圖而言，直線交叉數嚴格大於交叉數。完全圖${\displaystyle K_{5}}$ 至${\displaystyle K_{12}}$ 的直線交叉數依序為${\displaystyle 1,3,9,19,36,62,102,153}$ （OEIS數列A014540）。已知直至${\displaystyle K_{27}}$ 的直線交叉數，而${\displaystyle K_{28}}$ 則可能需要7233或7234個交叉。直線交叉數分布式计算計劃（Rectilinear Crossing Number project）收集了更多數據。^[26]

若一個圖有畫法使得每條邊至多${\displaystyle k}$ 個交叉，但${\displaystyle k}$ 不能更少，則稱${\displaystyle k}$ 為其局部交叉數（local crossing number）。若圖有畫法使每條邊至多${\displaystyle k}$ 個交叉，則稱其為${\displaystyle k}$ -平面圖（${\displaystyle k}$ -planar）。^[32]

其他變式包括兩兩相交數（pairwise crossing number，即任何畫法中，有交叉的邊對數目的最小可能值）和奇相交數（odd crossing number，即任何畫法中，交叉次數恰為奇數的邊對數目的最小可能值）。奇相交數不大於兩兩相交數，兩兩相交數也不大於相交數。然而，哈納尼-塔特定理（英语：Hanani–Tutte theorem）說明，若這三個數中有任何一個為零，則皆為零。^[6] Schaefer （2014, 2018）綜述了許多變式。^[33][34]

參考

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