^Carver A. Mead. Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism. MIT Press. 2002: 37–38. ISBN 9780262632607.
Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.
四月 12, 2024
四維矢量, 在這篇文章內, 向量與标量分別用粗體與斜體顯示, 例如, 位置向量通常用, displaystyle, mathbf, 表示, 而其大小則用, displaystyle, 來表示, 用加有標號的斜體顯示, 例如, displaystyle, 或xμ, displaystyle, 為了避免歧意, 的斜體與標號之間不會有括號, 例如, displaystyle, 表示x, displaystyle, 平方, 而x2, displaystyle, 是xμ, displaystyle, 的第二個分量, 在相對論. 在這篇文章內 向量與标量分別用粗體與斜體顯示 例如 位置向量通常用 r displaystyle mathbf r 表示 而其大小則用 r displaystyle r 來表示 四維矢量用加有標號的斜體顯示 例如 xm displaystyle x mu 或xm displaystyle x mu 為了避免歧意 四維矢量的斜體與標號之間不會有括號 例如 x 2 displaystyle x 2 表示x displaystyle x 平方 而x2 displaystyle x 2 是xm displaystyle x mu 的第二個分量 在相對論裏 四維向量 four vector 是實值四維向量空間裏的矢量 這四維向量空間稱為閔考斯基時空 四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量 在閔考斯基時空內的任何一點 都代表一個 事件 可以用四維向量表示 從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量 通過勞侖茲變換 可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量 本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量 儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論 在本文章內寫出的一些結果 必須加以修改 才能在廣義相對論範圍內成立 目录 1 數學性質 1 1 勞侖茲變換 1 2 閔考斯基內積 2 動力學實例 2 1 四維速度 2 2 四維加速度 2 3 四維動量 2 4 四維力 3 物理內涵 3 1 質能方程式 3 2 能量 動量關係式 4 電磁學實例 4 1 四維電流密度 4 2 電磁四維勢 4 3 四維頻率和四維波矢量 5 參閱 6 參考文獻數學性質 编辑 nbsp 在閔考斯基時空裡 不同慣性參考系的座標軸在閔考斯基時空內的任何一點 都可以用四維向量 一組標準基底的四個坐標 xm x0 x1 x2 x3 displaystyle x mu x 0 x 1 x 2 x 3 nbsp 來表示 其中 上標 m 0 1 2 3 displaystyle mu 0 1 2 3 nbsp 標記時空的維數次序 稱這四維向量為 坐標四維向量 又稱 四維坐標 定義為 xm def ct x y z displaystyle x mu stackrel def ct x y z nbsp 其中 c displaystyle c nbsp 是光速 t displaystyle t nbsp 是時間 x y z displaystyle x y z nbsp 是位置的三維直角坐標 為了確使每一個坐標的單位都是長度單位 定義 x0 def ct displaystyle x 0 stackrel def ct nbsp 四維位移 定義為兩個事件之間的矢量差 在時空圖裏 四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示 當矢量的尾部是坐標系的原點時 位移就是位置 四維位移 Dxm displaystyle Delta x mu nbsp 表示為 Dxm def Dct Dx Dy Dz displaystyle Delta x mu stackrel def Delta ct Delta x Delta y Delta z nbsp 帶有上標的四維向量 Um displaystyle U mu nbsp 稱為反變矢量 其分量標記為 Um U0 U1 U2 U3 displaystyle U mu U 0 U 1 U 2 U 3 nbsp 假若 標號是下標 則稱四維向量 Um displaystyle U mu nbsp 為協變矢量 其分量標記為 Um U0 U1 U2 U3 U0 U1 U2 U3 displaystyle U mu U 0 U 1 U 2 U 3 U 0 U 1 U 2 U 3 nbsp 在這裡 閔考斯基度規 hmn displaystyle eta mu nu nbsp 被設定為 hmn def 10000 10000 10000 1 displaystyle eta mu nu stackrel def left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp 採用愛因斯坦求和約定 則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為 Um hmnUn displaystyle U mu eta mu nu U nu nbsp 閔考斯基度規與它的 共軛度規張量 hmn displaystyle eta mu nu nbsp 相等 hmn def 10000 10000 10000 1 displaystyle eta mu nu stackrel def left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp 勞侖茲變換 编辑 主条目 勞侖茲變換 給予兩個慣性參考系 S displaystyle mathcal S nbsp S displaystyle bar mathcal S nbsp 相對於參考系 S displaystyle mathcal S nbsp 參考系 S displaystyle bar mathcal S nbsp 以速度 v vx displaystyle mathbf v v hat mathbf x nbsp 移動 對於這兩個參考系 相關的 勞侖茲變換矩陣 Lmn displaystyle Lambda mu nu nbsp 是 Lmn g gb00 gbg0000100001 displaystyle Lambda mu nu left begin matrix gamma amp gamma beta amp 0 amp 0 gamma beta amp gamma amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp 其中 g 11 vc 2 displaystyle gamma cfrac 1 sqrt 1 left frac v c right 2 nbsp 是勞侖茲因子 b vc displaystyle beta frac v c nbsp 是 貝塔因子 對於這兩個參考系 S displaystyle mathcal S nbsp S displaystyle bar mathcal S nbsp 假設一個事件的四維坐標分別為 xm displaystyle x mu nbsp x m displaystyle bar x mu nbsp 那麼 這兩個四維坐標之間的關係為 x m Lmn xn displaystyle bar x mu Lambda mu nu x nu nbsp xm L mn x n displaystyle x mu bar Lambda mu nu bar x nu nbsp 其中 L mn displaystyle bar Lambda mu nu nbsp 是 Lmn displaystyle Lambda mu nu nbsp 的反矩阵 L mn ggb00gbg0000100001 displaystyle bar Lambda mu nu left begin matrix gamma amp gamma beta amp 0 amp 0 gamma beta amp gamma amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp 將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一 則可得到 x m Lmn xn Lmn L n3 x 3 displaystyle bar x mu Lambda mu nu x nu Lambda mu nu bar Lambda nu xi bar x xi nbsp 因此 可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性 Lmn L n3 dm3 displaystyle Lambda mu nu bar Lambda nu xi delta mu xi nbsp 其中 dm3 displaystyle delta mu xi nbsp 是克羅內克函數 另外一個很有用的特性為 L mn han hbm Lab displaystyle bar Lambda mu nu eta alpha nu eta beta mu Lambda alpha beta nbsp 給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標 通過勞侖茲變換 就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標 這是個很有用的物理性質 當研究物理現象時 所涉及的四維向量 最好都能夠具有這有用的性質 這樣 可以使得數學分析更加精緻犀利 以方程式表示 對於兩個參考系 S displaystyle mathcal S nbsp S displaystyle bar mathcal S nbsp 具有這種有用性質的四維向量 Um displaystyle U mu nbsp U m displaystyle bar U mu nbsp 滿足 U m Lmn Un displaystyle bar U mu Lambda mu nu U nu nbsp Um L mn U n displaystyle U mu bar Lambda mu nu bar U nu nbsp 在計算這四維向量對於時間的導數時 若能選擇固有時為時間變數 則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質 因為 固有時乃是個不變量 改變慣性參考系不會改變不變量 假設一個物體運動於閔考斯基時空 在 實驗室參考系 裡 物體運動的速度隨著時間改變 對於每瞬時刻 選擇與物體同樣運動的慣性參考系 稱為 瞬間共動參考系 momentarily comoving reference frame 在這瞬間共動參考系裡 物體的速度為零 因此 這參考系也是物體的 瞬間靜止參考系 隨著物體不斷地改變運動速度與方向 新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系 1 41 42隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時 標記為 t displaystyle tau nbsp 這就好像給物體掛戴一隻手錶 隨著物體的運動 手錶也會做同樣的運動 而手錶所紀錄的時間就是固有時 這物體的運動可以用一條世界線 x t displaystyle x tau nbsp 來描述 由於時間膨脹 發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 Dt displaystyle Delta tau nbsp 與從別的慣性參考系 S displaystyle mathcal S nbsp 所觀測到的微小時間間隔 Dt displaystyle Delta t nbsp 的關係為 Dt gDt displaystyle Delta t gamma Delta tau nbsp 所以 固有時 t displaystyle tau nbsp 對於其它時間 t displaystyle t nbsp 的導數為 dtdt 1g displaystyle frac mathrm d tau mathrm d t frac 1 gamma nbsp 閔考斯基內積 编辑 在閔考斯基空間裡 兩個四維向量 Um displaystyle U mu nbsp 與 Vm displaystyle V mu nbsp 的內積 稱為閔考斯基內積 以方程式表示為 UmVm def U0V0 U1V1 U2V2 U3V3 displaystyle U mu V mu stackrel def U 0 V 0 U 1 V 1 U 2 V 2 U 3 V 3 nbsp 由於這內積並不具正定性 即 UmUm U0 2 U1 2 U2 2 U3 2 displaystyle U mu U mu U 0 2 U 1 2 U 2 2 U 3 2 nbsp 可能會是負數 而歐幾里得內積一定不是負數 許多學者喜歡使用相反正負號的 h displaystyle eta nbsp hmn def 1000010000100001 displaystyle eta mu nu stackrel def left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right nbsp 這樣 Um displaystyle U mu nbsp 與 Vm displaystyle V mu nbsp 的內積改變為 UmVm U0V0 U1V1 U2V2 U3V3 displaystyle U mu V mu U 0 V 0 U 1 V 1 U 2 V 2 U 3 V 3 nbsp 其它相聯的量值也會因而改變正負號 但這不會改變系統的物理性質 從參考系 S displaystyle mathcal S nbsp 改換至另一參考系 S displaystyle overline mathcal S nbsp Um displaystyle U mu nbsp 與 Vm displaystyle V mu nbsp 的內積為 UmVm L ma U a hmbVb L ma U a hmb L b3 V 3 L ma U a hmb L b3 h3z V z L ma U a L zm V z dza U a V z U aV a displaystyle U mu V mu overline Lambda mu alpha overline U alpha eta mu beta V beta overline Lambda mu alpha overline U alpha eta mu beta overline Lambda beta xi overline V xi overline Lambda mu alpha overline U alpha eta mu beta overline Lambda beta xi eta xi zeta overline V zeta overline Lambda mu alpha overline U alpha overline Lambda zeta mu overline V zeta delta zeta alpha overline U alpha overline V zeta overline U alpha overline V alpha nbsp 所以 在閔考斯基時空內 兩個四維向量的內積是個不變量 1 44 46 UmVm U mV m displaystyle U mu V mu overline U mu overline V mu nbsp 四維向量可以分類為類時 類空 或類光 零矢量 類時矢量 UmUm gt 0 displaystyle U mu U mu gt 0 nbsp 類空矢量 UmUm lt 0 displaystyle U mu U mu lt 0 nbsp 類光矢量 UmUm 0 displaystyle U mu U mu 0 nbsp 動力學實例 编辑四維速度 编辑 主条目 四維速度 設想一個物體運動於閔考斯基時空 則其世界線的任意事件 xm t displaystyle x mu tau nbsp 的四維速度 Um displaystyle U mu nbsp 定義為 1 46 48 Um def dxmdt dtdt dxmdt gc gu displaystyle U mu stackrel def frac mathrm d x mu mathrm d tau frac mathrm d t mathrm d tau frac mathrm d x mu mathrm d t left gamma c gamma mathbf u right nbsp 其中 u dx1dt dx2dt dx3dt displaystyle mathbf u left frac mathrm d x 1 mathrm d t frac mathrm d x 2 mathrm d t frac mathrm d x 3 mathrm d t right nbsp 是三維速度 或經典速度矢量 Um displaystyle U mu nbsp 的空間部分與經典速度 u displaystyle mathbf u nbsp 的關係為 U1 U2 U3 gu displaystyle left U 1 U 2 U 3 right gamma mathbf u nbsp 四維速度與自己的內積等於光速平方 是一個不變量 UmUm c2 displaystyle U mu U mu c 2 nbsp 在物體的瞬間共動參考系裡 物體的速度為零 因此 四維速度為 c 0 0 0 MCRF displaystyle left c 0 0 0 right MCRF nbsp 其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 e 0 1 0 0 0 MCRF displaystyle hat mathbf e 0 left 1 0 0 0 right MCRF nbsp 同向 其中 MCRF displaystyle MCRF nbsp 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據 四維加速度 编辑 主条目 四維加速度 四維加速度 am displaystyle alpha mu nbsp 定義為 1 46 48 am def dUmdt gg c gg u g2u displaystyle alpha mu stackrel def frac mathrm d U mu mathrm d tau left gamma dot gamma c gamma dot gamma mathbf u gamma 2 dot mathbf u right nbsp 經過一番運算 可以得到勞侖茲因子對於時間的導數 g dgdt g3 u a c2 displaystyle dot gamma frac mathrm d gamma mathrm d t gamma 3 mathbf u cdot mathbf a c 2 nbsp 其中 a dudt displaystyle mathbf a frac mathrm d mathbf u mathrm d t nbsp 是經典加速度 所以 四維加速度 am displaystyle alpha mu nbsp 可以表示為 am g4 u a c g2a g4 u a u c2 displaystyle alpha mu left gamma 4 mathbf u cdot mathbf a c gamma 2 mathbf a gamma 4 mathbf u cdot mathbf a mathbf u c 2 right nbsp 由於 UmUm displaystyle U mu U mu nbsp 是個常數 四維加速度與四維速度相互正交 也就是說 四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零 amUm 12d UmUm dt 0 displaystyle alpha mu U mu frac 1 2 frac mathrm d U mu U mu mathrm d tau 0 nbsp 對於每一條世界線 這計算結果都成立 注意到在瞬間共動參考系裡 Um displaystyle U mu nbsp 只有時間分量不等於零 所以 am displaystyle alpha mu nbsp 為的時間分量為零 am 0 g2a MCRF displaystyle alpha mu left 0 gamma 2 mathbf a right MCRF nbsp 四維動量 编辑 主条目 四維動量 一個靜止質量為 m displaystyle m nbsp 的粒子的四維動量 Pm displaystyle P mu nbsp 定義為 Pm def mUm gmc gmu displaystyle P mu stackrel def mU mu left gamma mc gamma m mathbf u right nbsp 經典動量 p displaystyle mathbf p nbsp 定義為 p def mrelu gmu displaystyle mathbf p stackrel def m rel mathbf u gamma m mathbf u nbsp 其中 mrel displaystyle m rel nbsp 是相對論性質量 所以 Pm displaystyle P mu nbsp 的空間部分等於經典動量 p displaystyle mathbf p nbsp P1 P2 P3 p displaystyle left P 1 P 2 P 3 right mathbf p nbsp 四維力 编辑 主条目 四維力 作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數 Fm def dPmdt displaystyle F mu stackrel def frac mathrm d P mu mathrm d tau nbsp 提出四維動量內的靜止質量因子 即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度 Fm mdUmdt mam displaystyle F mu m frac mathrm d U mu mathrm d tau m alpha mu nbsp 因此 四維力可以表示為 Fm m g4 u a c g2a g4 u a u c2 displaystyle F mu m left gamma 4 mathbf u cdot mathbf a c gamma 2 mathbf a gamma 4 mathbf u cdot mathbf a mathbf u c 2 right nbsp 經典力 f displaystyle mathbf f nbsp 定義為 f def dpdt displaystyle mathbf f stackrel def frac mathrm d mathbf p mathrm d t nbsp 所以 Fm displaystyle F mu nbsp 的空間部分等於 gf displaystyle gamma mathbf f nbsp F1 F2 F3 gf displaystyle left F 1 F 2 F 3 right gamma mathbf f nbsp 物理內涵 编辑在四維向量的表述裏 存在著許多能量與物質之間的關係 從這些特別關係 可以顯示出這表述的功能與精緻 質能方程式 编辑 假設 在微小時間間隔 dt displaystyle mathrm d t nbsp 一個運動於時空的粒子 感受到作用力 f displaystyle mathbf f nbsp 的施加 而這粒子的微小位移為 dx displaystyle mathrm d mathbf x nbsp 那麼 作用力 f displaystyle mathbf f nbsp 對於這粒子所做的微小機械功 dW displaystyle mathrm d W nbsp 為 dW f dx displaystyle mathrm d W mathbf f cdot mathrm d mathbf x nbsp 因此 這粒子的動能的改變 dK displaystyle mathrm d K nbsp 為 dK dW f dx displaystyle mathrm d K mathrm d W mathbf f cdot mathrm d mathbf x nbsp 粒子的動能 K displaystyle K nbsp 對於時間的導數為 dKdt f dxdt f u displaystyle frac mathrm d K mathrm d t mathbf f cdot frac mathrm d mathbf x mathrm d t mathbf f cdot mathbf u nbsp 將前面經典力和經典速度的公式帶入 可以得到 dKdt mg3 u a mc2dgdt displaystyle frac mathrm d K mathrm d t m gamma 3 mathbf u cdot mathbf a mc 2 frac mathrm d gamma mathrm d t nbsp 這公式的反微分為 K gmc2 K0 displaystyle K gamma mc 2 K 0 nbsp 當粒子靜止時 動能等於零 所以 K gmc2 mc2 displaystyle K gamma mc 2 mc 2 nbsp 這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 E0 def mc2 displaystyle E 0 stackrel def mc 2 nbsp 動能 K displaystyle K nbsp 加上靜止能量 E0 displaystyle E 0 nbsp 等於總能量 E displaystyle E nbsp E gmc2 displaystyle E gamma mc 2 nbsp 再加簡化 以相對論性質量 mrel displaystyle m rel nbsp 表示 E mrelc2 displaystyle E m rel c 2 nbsp 這方程式稱為質能方程式 能量 動量關係式 编辑 使用質能方程式 E mrelc2 gmc2 displaystyle E m rel c 2 gamma mc 2 nbsp 四維動量可以表示為 Pm Ec p displaystyle P mu left frac E c mathbf p right nbsp 四維動量與自己的內積為 PmPm E2c2 p 2 displaystyle P mu P mu frac E 2 c 2 p 2 nbsp 改以四維速度來計算內積 PmPm m2UmUm m2c2 displaystyle P mu P mu m 2 U mu U mu m 2 c 2 nbsp 所以 能量 動量關係式為 E2 pc 2 m2c4 displaystyle E 2 pc 2 m 2 c 4 nbsp 電磁學實例 编辑四維電流密度 编辑 主条目 四維電流密度 在電磁學裏 四維電流密度 Jm displaystyle J mu nbsp 是一個四維向量 定義為 Jm def rc j displaystyle J mu stackrel def rho c mathbf j nbsp 其中 r displaystyle rho nbsp 是電荷密度 j displaystyle mathbf j nbsp 是三維電流密度 在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度 稱為固有電荷密度 r0 r g displaystyle rho 0 rho gamma nbsp 四維電流密度與四維速度的關係為 Jm r0Um displaystyle J mu rho 0 U mu nbsp 電荷守恆定律能以三維矢量表示為 r t j 0 displaystyle frac partial rho partial t nabla cdot mathbf j 0 nbsp 這定律也能以四維電流密度表示為 Jm xm 0 displaystyle frac partial J mu partial x mu 0 nbsp 從這方程式 可以推論四維電流密度的四維散度等於零 電磁四維勢 编辑 主条目 電磁四維勢 電磁四維勢是由電勢 ϕ displaystyle phi nbsp 與矢量勢 A displaystyle mathbf A nbsp 共同形成的 定義為 Am def ϕ c A displaystyle A mu stackrel def phi c mathbf A nbsp 黎曼 索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係 2 Am m0Jm displaystyle Box A mu mu 0 J mu nbsp 其中 m0 displaystyle mu 0 nbsp 是磁常數 2 a a 1c2 2 t2 2 displaystyle Box partial 2 partial alpha partial alpha left frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 nabla 2 right nbsp 是達朗貝爾算符 又稱為四維拉普拉斯算符 四維頻率和四維波矢量 编辑 一個平面電磁波的四維頻率 nm displaystyle nu mu nbsp 定義為 na def f fn displaystyle nu alpha stackrel def f f mathbf n nbsp 其中 f displaystyle f nbsp 是電磁波的頻率 n displaystyle mathbf n nbsp 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量 四維頻率與自己的內積永遠等於零 nana f 2 1 n2 0 displaystyle nu alpha nu alpha f 2 1 n 2 0 nbsp 一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 Ka displaystyle K alpha nbsp 來描述 Ka def 2pfc k displaystyle K alpha stackrel def left frac 2 pi f c mathbf k right nbsp 其中 k displaystyle mathbf k nbsp 是三維波矢量 四維波矢量與四維頻率之間的關係為 Ka 2pnac displaystyle K alpha frac 2 pi nu alpha c nbsp 參閱 编辑洛侖茲協變性參考文獻 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 Bernard Schutz A First Course in General Relativity Cambridge University Press 14 May 2009 ISBN 978 0 521 88705 2 Carver A Mead Collective Electrodynamics Quantum Foundations of Electromagnetism MIT Press 2002 37 38 ISBN 9780262632607 Griffiths David J Introduction to Electrodynamics 3rd ed Prentice Hall 1998 pp 477 543 ISBN 0 13 805326 X 引文格式1维护 冗余文本 link Rindler W Introduction to Special Relativity 2nd edition Clarendon Press Oxford 1991 ISBN 0 19 853952 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 四維矢量 amp oldid 77681681, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,