分式環

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。

分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。

構造

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 ${\displaystyle R}$  為一個整環，而 ${\displaystyle S:=R-\{0\}}$ 。

在集合 ${\displaystyle R\times S}$  上定義下述等價關係 ${\displaystyle \sim }$ ：

${\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}$ 

等價類 ${\displaystyle [r,s]}$  可以想成「分式」 ${\displaystyle r/s}$ ，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 ${\displaystyle (R\times S)/\sim }$  上定義加法與乘法為：

${\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}$ 

${\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}$ 

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ${\displaystyle R\rightarrow (R\times S)/\sim }$ ，定義為 ${\displaystyle r\mapsto [r,1]}$ ；這是一個單射。於是可定義分式環 ${\displaystyle T(R):=(R\times S)/\sim }$ ，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 ${\displaystyle T(R)}$  裡的元素寫作分式 ${\displaystyle r/s}$ 。

泛性質

整環 ${\displaystyle R}$  的分式環 ${\displaystyle K(R)}$  及其自然環同態 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$  滿足以下的泛性質：

對任何環 ${\displaystyle T}$  及環同態 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow T}$ ，若 ${\displaystyle R-\{0\}}$  中的元素在 ${\displaystyle \phi }$  下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ${\displaystyle \psi :K(R)\rightarrow T}$ ，使得 ${\displaystyle \phi }$  是 ${\displaystyle R\rightarrow K(R)}$  與 ${\displaystyle \psi }$  的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 ${\displaystyle (K,\phi :R\rightarrow T)}$  若使得 ${\displaystyle K-\{0\}}$  中的元素在 ${\displaystyle \phi }$  下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 ${\displaystyle K}$  必與 ${\displaystyle T(R)}$  同構。

例子

• 有理數域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  是整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  的分式環。
• 有理函數域是多項式環的分式環
• 代數數域是代數整數環的分式環。
• 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

推廣

更多信息：局部化

對於一般的交換環 ${\displaystyle R}$ （容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 ${\displaystyle R\rightarrow S^{-1}R}$  為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 ${\displaystyle S}$  為 ${\displaystyle R}$  中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 ${\displaystyle T(R):=S^{-1}R}$ ，此時 ${\displaystyle T(R)}$  常被稱作 ${\displaystyle R}$  的全分式環。