互信息

在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。具体来说，对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“信息量”（单位通常为比特）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是信息论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“信息量（英语：Information content）”。

独立的(H(X),H(Y)), 联合的(H(X,Y)), 以及一对带有互信息 I(X; Y) 的相互关联的子系统 X,Y 的条件熵。

MI不仅仅是度量实值随机变量和线性相关性(如相关系数)，它更为通用。MI决定了随机变量${\displaystyle {\displaystyle (X,Y)}}$的联合分布与${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的边缘分布的乘积之间的差异。MI是点互信息（Pointwise Mutual Information（英语：pointwise mutual information），PMI）的期望。克劳德·香农在他的论文A Mathematical Theory of Communication（英语：A Mathematical Theory of Communication）中定义并分析了这个度量，但是当时他并没有将其称为“互信息”。这个词后来由罗伯特·法诺^[1]创造。互信息也称为信息增益。

互信息的定义

设随机变量${\displaystyle {\displaystyle (X,Y)}}$ 是空间${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}}$ 中的一对随机变量。若他们的联合分布是${\displaystyle {\displaystyle p(x,y)}}$ ，边缘分布分别是${\displaystyle {\displaystyle p(x)}}$ 和${\displaystyle {\displaystyle p(y)}}$ ，那么，它们之间的互信息可以定义为：

${\displaystyle {\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}}$ 

其中，${\displaystyle {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}}$ 为KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根据KL散度的性质，若联合分布${\displaystyle p(x,y)}$ 等于边缘分布${\displaystyle p(x)}$ 和${\displaystyle p(y)}$ 的乘积，则${\displaystyle I(X;Y)=0}$ ，即当${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 相互独立的时候，观测到Y对于我们预测X没有任何帮助，此时他们的互信息为0。

离散变量的互信息

离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以计算为：

${\displaystyle I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},\,\!}$ 

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的联合概率质量函数，而 ${\displaystyle p(x)}$  和 ${\displaystyle p(y)}$  分别是 X 和 Y 的边缘概率质量函数。

连续变量的互信息

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

${\displaystyle I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,}$ 

其中 p(x, y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而 ${\displaystyle p(x)}$  和 ${\displaystyle p(y)}$  分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）

互信息是 X 和 Y 的联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。 于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

${\displaystyle \log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.\,\!}$ 

此外，互信息是非负的（即 ${\displaystyle I(X;Y)\geq 0}$ ; 见下文），而且是对称的（英语：Symmetric function）（即 ${\displaystyle I(X;Y)=I(Y;X)}$ ）。

与其他量的关系

互信息又可以等价地表示成

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}}$ 

其中 ${\displaystyle \ H(X)}$  和 ${\displaystyle \ H(Y)}$  是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似，于是用Venn图表示。

在互信息定义的基础上使用琴生不等式，我们可以证明 I(X;Y) 是非负的，因此 ${\displaystyle \ H(X)\geq H(X|Y)}$ 。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)-\sum _{y}\log p(y)p(y)\\&{}=-H(Y|X)+H(Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X).\\\end{aligned}}}$ 

上面其他性质的证明类似。

直观地说，如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量於不确定度的量度，那么 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件後Y事件會發生"的不確定度。於是第一个等式的右边就可以读作“將"Y事件的不确定度"，减去 --- "在基於X事件後Y事件因此發生的不確定度"”。

这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基於已知隨機變量的不確定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影響地位( "Y事件所具有的不確定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不確性" )，意即"Y具有的不確定性"有多少程度是起因於X事件;

 舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量兩個事件彼此之間的關聯性。 

所以具體的解釋就是: 互信息越小，兩個來自不同事件空間的隨機變量彼此之間的關聯性越低; 互信息越高，關聯性則越高 。

注意到离散情形 H(X|X) = 0，于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的信息“的基本原理。

互信息也可以表示为两个随机变量的边缘分布 X 和 Y 的乘积 p(x) × p(y) 相对于随机变量的联合熵 p(x,y) 的相对熵：

${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)p(y)).}$ 

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。则

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}}$ 

注意到，这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分，表达式 ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))}$  现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 Y 时 X 的条件分布 p(x|y) ：分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大，信息增益越大。

連續互信息的量化

對連續型隨機變數量化的定義如下：

${\displaystyle f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}}$ 

量化後的隨機變數${\displaystyle X^{\Delta }}$ :

${\displaystyle X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta }$ 。

則,

${\displaystyle I(X^{\Delta };Y^{\Delta })=H(X^{\Delta })-H(X^{\Delta }|Y^{\Delta })}$ 

${\displaystyle \approx h(X)-log{\Delta }-(h(X|Y)-log{\Delta })}$ 

${\displaystyle =I(X;Y)}$ 

廣義而言，我們可以將互信息定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。

令${\displaystyle \chi }$ 為連續型隨機變數的值域，${\displaystyle P_{i}\in P}$ , 其中${\displaystyle P}$ 為${\displaystyle \chi }$ 劃分所構成的集合，意即${\displaystyle \cup _{i}P_{i}=\chi }$ 。

以${\displaystyle P}$ 量化連續型隨機變數${\displaystyle X}$ 後，所得結果為離散型隨機變數,

${\displaystyle Pr([X]_{P}=i)=\int _{P_{i}}dF(x)}$ 。

對於兩連續型隨機變數X、Y，其劃分分別為P、Q，則其互信息可表示為：

${\displaystyle I(X;Y)={\underset {P,Q}{sup}}I([X]_{P};[Y]_{Q})}$ 。

参见

• 点间互信息（英语：Pointwise mutual information）
• 量子互信息（英语：Quantum mutual information）

注释

1. Kreer, J. G. A question of terminology. IRE Transactions on Information Theory. 1957, 3 (3): 208. doi:10.1109/TIT.1957.1057418. 

参考文献

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• Cronbach L. J. (1954). On the non-rational application of information measures in psychology, in Henry Quastler, ed., Information Theory in Psychology: Problems and Methods, Free Press, Glencoe, Illinois, pp. 14–30.
• Church, Kenneth Ward; Hanks, Patrick. Word association norms, mutual information, and lexicography (PDF). Proceedings of the 27th Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics. 1989. ^{[永久失效連結]}
• Guiasu, Silviu. Information Theory with Applications. McGraw-Hill, New York. 1977. ISBN 978-0070251090. 
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