联合分布

在概率论中, 对定义在相同样本空间^[1]的两个随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，其联合分布是同时对于${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的概率分布。

离散随机变量的联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为${\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}$ ，即

${\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}$ 

因为是概率分布函数，所以必须有

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}$ 

连续随机变量的联合分布

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ ，其中${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$ 和${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$ 分别代表${\displaystyle X=x}$ 时${\displaystyle Y}$ 的条件分布以及${\displaystyle Y=y}$ 时${\displaystyle X}$ 的条件分布；${\displaystyle f_{X}(x)}$ 和${\displaystyle f_{Y}(y)}$ 分别代表${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

$${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$$

 

独立变量的联合分布

對於兩相互獨立的事件${\displaystyle P(X)}$ 及${\displaystyle P(Y)}$ ，任意x和y而言有离散随机变量${\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$ ，或者有连续随机变量${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$ 。

多元联合分布

2元联合分布可以推广到任意多元的情况${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ 

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$ 

相关条目

• 耦合 (概率)

外部链接

• Joint continuous density function. PlanetMath. 

1. Feller, William. An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition. 1957: 217–218. ISBN 978-0471257080 （Eng）.  请检查|access-date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)