条件熵

在信息论中，条件熵描述了在已知第二个随机变量 ${\displaystyle X}$ 的值的前提下，随机变量 ${\displaystyle Y}$ 的信息熵还有多少。同其它的信息熵一样，条件熵也用Sh、nat、Hart等信息单位表示。基于 ${\displaystyle X}$ 條件的 ${\displaystyle Y}$ 的信息熵，用 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)}$ 表示。

定义

如果 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X=x)}$  爲變數 ${\displaystyle Y}$  在變數 ${\displaystyle X}$  取特定值 ${\displaystyle x}$  條件下的熵，那麼 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)}$  就是 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X=x)}$  在 ${\displaystyle X}$  取遍所有可能的 ${\displaystyle x}$  後取平均的結果。

给定随机变量 ${\displaystyle X}$  与 ${\displaystyle Y}$ ，定義域分別爲 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$  與 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ，在給定 ${\displaystyle X}$  條件下 ${\displaystyle Y}$  的條件熵定義爲：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (Y|X)\ &\equiv \sum _{x\in {\mathcal {X}}}\,p(x)\,\mathrm {H} (Y|X=x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\,p(y|x)\,\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}\sum _{y\in {\mathcal {Y}}}\,p(x,y)\,\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(y|x)\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}.\\&=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x)}{p(x,y)}}.\\\end{aligned}}}$ 

注意： 可以理解，對於確定的 c>0，表達式 0 log 0 和 0 log (c/0) 應被認作等於零。

當且僅當 ${\displaystyle Y}$  的值完全由 ${\displaystyle X}$  確定時，${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)=0}$ 。相反，當且僅當 ${\displaystyle Y}$  和 ${\displaystyle X}$  爲獨立隨機變數時${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)=\mathrm {H} (Y)}$ 。

链式法则

假設兩個隨機變數 X 和 Y 確定的組合系統的聯合熵爲 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$ ，即我們需要 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)}$  bit的信息來描述它的確切狀態。 現在，若我們先學習 ${\displaystyle X}$  的值，我們得到了 ${\displaystyle \mathrm {H} (X)}$  bits的信息。 一旦知道了 ${\displaystyle X}$ ，我們只需 ${\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X)}$  bits來描述整個系統的狀態。 這個量正是 ${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)}$ ，它給出了條件熵的链式法则：

${\displaystyle \mathrm {H} (Y|X)\,=\,\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X)\,.}$ 

链式法则接著上面條件熵的定義：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (Y|X)&=\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log {\frac {p(x)}{p(x,y)}}\\&=-\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(x,y)+\sum _{x\in {\mathcal {X}},y\in {\mathcal {Y}}}p(x,y)\log \,p(x)\\&=\mathrm {H} (X,Y)+\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log \,p(x)\\&=\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (X).\end{aligned}}}$ 

貝葉斯規則

條件熵的貝葉斯規則（英语：Bayes' rule）表述爲

${\displaystyle H(Y|X)\,=\,H(X|Y)-H(X)+H(Y)\,.}$ 

證明. ${\displaystyle H(Y|X)=H(X,Y)-H(X)}$  and ${\displaystyle H(X|Y)=H(Y,X)-H(Y)}$ 。對稱性意味著 ${\displaystyle H(X,Y)=H(Y,X)}$ 。將兩式相減即爲貝葉斯規則。

推广到量子理论

在量子信息论中，条件熵都概括为量子条件熵。

參考文獻

1. Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of information theory 1st. New York: Wiley. 1991. ISBN 0-471-06259-6.