不变子空间, 数学上, 一个从某个线性空间v, displaystyle, 到自身的线性变换, displaystyle, rightarrow, 的是v, displaystyle, 的一个子空间w, displaystyle, 使得t, displaystyle, 包含于w, displaystyle, displaystyle, 的一个也称为是t, displaystyle, 不变的, 若w, displaystyle, 为t, displaystyle, 不变, 我们限制t, displaystyle, 到. 数学上 一个从某个线性空间V displaystyle V 到自身的线性变换 T V V displaystyle T V rightarrow V 的不变子空间是V displaystyle V 的一个子空间W displaystyle W 使得T W displaystyle T W 包含于W displaystyle W T displaystyle T 的一个不变子空间也称为是T displaystyle T 不变的 若W displaystyle W 为T displaystyle T 不变 我们限制T displaystyle T 到W displaystyle W 上得到一个新的线性变换 T W W W displaystyle T W W rightarrow W 不变子空间的存在使得对于T displaystyle T 的研究变得更为简单 当然V displaystyle V 本身 和子空间0 displaystyle 0 是每个线性算子T V V displaystyle T V rightarrow V 的平凡不变子空间 对于特定的线性算子 可能没有非平凡的不变子空间 譬如考虑二维实向量空间的旋转 另一个例子是 令v displaystyle textbf v 为T displaystyle T 的一个特征向量 也即T v l v displaystyle T textbf v lambda textbf v 则W span v displaystyle W text span textbf v 是T displaystyle T 不变的 进一步扩展这个例子 我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间 T displaystyle T 的特征值是T displaystyle T 的特征多项式的零点 而该多项式根据代数基本定理总是有零点的 然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间 这个证明在实数域上不成立 因为不是所有实多项式都有一个实根 矩阵表示 编辑在有限维向量空间上每个线性变换T V V displaystyle T V rightarrow V nbsp 在选取了一个V displaystyle V nbsp 的基以后都可以用一个矩阵来表达 假设现在W displaystyle W nbsp 是一个T displaystyle T nbsp 不变子空间 取W displaystyle W nbsp 的一个基C i 1 i k displaystyle C textbf i 1 cdots textbf i k nbsp 并扩充成为V displaystyle V nbsp 的一个基B displaystyle B nbsp 则T displaystyle T nbsp 对应于基B displaystyle B nbsp 的矩阵 T B displaystyle T B nbsp 将有如下形式 T B T W C 0 displaystyle T B begin bmatrix T W C amp 0 amp end bmatrix nbsp 其中左上角块表达了W displaystyle W nbsp 中的向量的像还在W displaystyle W nbsp 本身中因此是W displaystyle W nbsp 的基向量的线性组合这一事实 不变子空间问题 编辑主条目 不变子空间问题 不变子空间问题主要是关于V displaystyle V nbsp 是大于1维的复数域上的可分希尔伯特空间 而T displaystyle T nbsp 是有界算子的情况的 它求证是否T displaystyle T nbsp 总是有一个非平凡闭子空间 该问题直至2006年还未獲解答 若V displaystyle V nbsp 只是巴拿赫空间 1984年Charles Read证明存在反例 推广 编辑更一般的 不变子空间可以定义在算子集合上 算子代数 群表示 它们是在该集合中的每个算子下不变的子空间 例如 给定一个群G displaystyle G nbsp 在向量空间V displaystyle V nbsp 上的表示 每个G displaystyle G nbsp 的元素g displaystyle g nbsp 有一个对应的线性变换T g V V displaystyle T g V rightarrow V nbsp 若V displaystyle V nbsp 的子空间W displaystyle W nbsp 在所有这些变换下不变 则它是一个子表示 而群G displaystyle G nbsp 以自然的方式作用于W displaystyle W nbsp 上 取自 https zh wikipedia org w index php title 不变子空间 amp oldid 69838162, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,