一矩陣

此条目的主題是所有元素皆為1的矩陣。关于主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣，請見「單位矩陣」。

在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣^[1]，通常以符號${\displaystyle J}$來表示，並以下標符號表示矩陣的維度^[2]，例如：

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：unit matrix^[3][2]）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣^[3][4]:71，兩者是不同的矩陣。

類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。

特別地，${\displaystyle 1\times 1}$的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即${\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。^[2]

性質

所有的${\displaystyle n\times n}$ 的全一方陣（為方陣的全一矩陣）${\displaystyle J_{n}}$ 有以下性質：

• ${\displaystyle J_{n}}$ 的跡為${\displaystyle n}$ ^[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$ ，${\displaystyle J_{n}}$ 的行列式為${\displaystyle \det J_{n}=0}$ 。對於小於2的情況，行列式為1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$ 。（若也將${\displaystyle n=0}$ 考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1^[6]）
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$ 的特徵多項式為${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$ 
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$ 的極小多項式為${\displaystyle (x-n)x}$ 
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$ 的秩為1、特徵值為${\displaystyle n}$ （代數重数為1）和0（代數重数為${\displaystyle n-1}$ ）^[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ ，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$ ^[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$ 是阿達瑪乘積的單位元^[9]

當全一矩陣${\displaystyle J}$ 在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

• 全一矩陣${\displaystyle J}$ 為半正定矩阵
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$ 為幂等矩阵^[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$ 的矩阵指数為${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$ 

應用

全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle n}$ 個頂點無向圖${\displaystyle G}$ 的鄰接矩陣，且${\displaystyle J}$ 是與${\displaystyle A}$ 相同維度的全一矩陣，則若${\displaystyle AJ=JA}$ 時，${\displaystyle G}$ 為正則圖，反之亦然。^[10]

參見

• 零矩陣
• 矩陣單元

參考文獻

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 0.2.8 The all-ones matrix and vector, , Cambridge University Press: 8, 2012 [2022-04-24], ISBN 9780521839402, （原始内容存档于2022-04-24） .
2. Weisstein, Eric W. (编). Unit Matrix. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
3. 簡秋記. . 力學名詞辭典, 國家教育研究院. 2002年12月 [2022-04-24]. （原始内容存档于2021-01-19）. 
4. Akivis, M. A. and Goldberg, V. V., An Introduction to Linear Algebra and Tensors, New York: Dover, 1972 
5. Stanley, Richard P., , Springer, Lemma 1.4, p. 4, 2013 [2022-04-24], ISBN 9781461469988, （原始内容存档于2022-05-01） .
6. Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956 
7. Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
8. Timm, Neil H., , Springer texts in statistics, Springer: 30, 2002 [2022-04-24], ISBN 9780387227719, （原始内容存档于2022-04-24） .
9. Smith, Jonathan D. H., , CRC Press: 77, 2011 [2022-04-24], ISBN 9781420063721, （原始内容存档于2022-04-24） .
10. Godsil, Chris, , CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, 1993 [2022-04-24], ISBN 9780412041310, （原始内容存档于2022-04-24） .