空矩阵

此条目的主題是行数或列数为零的矩陣。关于行数與列数皆不为零，但其元素全為零的矩陣，請見「零矩陣」。

空矩阵是指至少有一個維度為零的矩陣，亦即行数或列数为零的矩阵。^[1][2]最小的空矩陣為0×0矩陣。空矩陣亦可以是0×5或10×0等形式^[3]。空矩陣不會存在任何元素。

定義

空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个${\displaystyle n\times 0}$ 和${\displaystyle 0\times p}$ 的空矩阵相乘是一个${\displaystyle n\times p}$ 的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己^[4]:18。

性質

• 維數相同的空矩阵與空矩阵相乘仍為空矩阵^[5]

  ${\displaystyle \left[\ \right]\times \left[\ \right]=\left[\ \right]}$ 

• 空矩阵與純量或向量相乘仍為空矩阵^[5]
• ${\displaystyle n\times 0}$ 的空矩阵和${\displaystyle 0\times p}$ 的空矩阵相乘結果為${\displaystyle n\times p}$ 的零矩阵^[5]
• ${\displaystyle 0\times m}$ 的空矩阵和任一${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵相乘結果為${\displaystyle 0\times n}$ 的空矩阵^[5]
• 任一${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵和${\displaystyle n\times 0}$ 的空矩阵相乘結果為${\displaystyle m\times 0}$ 的空矩阵^[5]
• 空矩阵的行列式约定为1，即空積。^[4]
• 空矩阵${\displaystyle \left[\ \right]}$ 等於零維零矩陣${\displaystyle \mathbf {0} _{0\times 0}}$ 等於零維單位矩陣${\displaystyle I_{0\times 0}}$ 。^[6]

  ${\displaystyle \left[\ \right]=\mathbf {0} _{0\times 0}=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$ 

• 空矩阵的反矩陣為自身。^[4]:18

  由於${\displaystyle \left[\ \right]=I_{0\times 0}=\left[\ \right]^{-1}}$ 

  因此${\displaystyle \left[\ \right]\left[\ \right]^{-1}=\left[\ \right]=I_{0\times 0}}$ ，滿足反矩陣與自身相乘為單位矩陣的定義。

• 空矩阵的秩為0^[7]

參見

• 零矩陣

參考文獻

1. . O-Matrix v6 User Guide. （原始内容存档于2009-04-29）. 
2. . system.nada.kth.se. （原始内容存档于2009-12-28）. A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix 
3. . www.ece.northwestern.edu. [2022-04-29]. （原始内容存档于2020-02-18）. 
4. Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956 
5. . octave.org. [2022-04-29]. （原始内容存档于2019-09-13）. 
6. Nett, C.N. and Haddad, W.M. A system-theoretic appropriate realization of the empty matrix concept. IEEE Transactions on Automatic Control. 1993, 38 (5): 771–775. doi:10.1109/9.277245. 
7. . scilab.org. [2022-04-29]. （原始内容存档于2020-12-05）.