矩陣單元

提示：此条目的主题不是单位矩阵。

在线性代数中，矩陣單元是一個矩阵，其中只有一個元素為1，其餘元素為0。^[1][2]1位於第i行第j列的矩陣單元以${\displaystyle E_{ij}}$表示。例如，i = 1，j = 2的3 × 3矩陣單元為

$${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

性質

${\displaystyle m\times n}$ 矩陣單元的集合是${\displaystyle m\times n}$ 矩陣空間的基。^[2]

兩個形狀相同（${\displaystyle n\times n}$ ）的矩陣單元的積滿足關係

$${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$

 

，其中${\displaystyle \delta _{jk}}$ 是克罗内克δ函数。^[2]

在環R上${\displaystyle n\times n}$ 純量矩阵的群是在R上${\displaystyle n\times n}$ 矩陣集合中${\displaystyle n\times n}$ 矩陣單元子集的中心化子。^[2]

它與另一個矩陣相乘時，它會孤立任意一行或列。例如，對於任何3 × 3矩陣A：^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$ 

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$ 

參考文獻

1. Artin, Michael. Algebra. Prentice Hall. 1991: 9. 
2. Lam, Tsit-Yuen. Chapter 17: Matrix Rings. Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics 189. Springer Science+Business Media. 1999: 461–479. 
3. Marcel Blattner. B-Rank: A top N Recommendation Algorithm. 2009. arXiv:0908.2741   [physics.data-an].