龐特里亞金對偶性

在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：

• 實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。

2进整数相互关系图示,它們是龐特里亞金對偶性群（英语：Prüfer group）的元素。

• 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如周期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。

• 有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。

此理論由龐特里亞金（Lev Pontryagin）首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德烈·韦伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。

哈爾測度

一個拓撲群${\displaystyle G}$ 被稱作局部緊的，若且唯若其單位元素e有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含e的開集${\displaystyle V}$ ，使得它在${\displaystyle G}$ 裡的閉包${\displaystyle {\bar {V}}}$ 是緊的。局部緊群${\displaystyle G}$ 最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為${\displaystyle G}$ 中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是博雷爾集，即由緊集生成的σ-代數。更明確地說，局部緊群${\displaystyle G}$ 的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度μ，並在${\displaystyle \mu (xg)=\mu (x)\;(\forall g\in G)}$ 的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目哈爾測度）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當${\displaystyle G}$ 是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義${\displaystyle G}$ 上的複數值博雷爾函數的積分，特別是可以考慮相關的${\displaystyle L^{p}}$ 空間：

${\displaystyle L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow \mathbb {C} :\int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}}$ 

以下是局部緊阿貝爾群的若干例子：

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ，配上向量加法。
• 正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於${\displaystyle \mathbb {R} }$ 。
• 任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。
• 整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 配上加法，並賦予離散拓撲。
• 圓群${\displaystyle \mathbb {T} }$ 。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ 。
• p進數配上加法及其p進拓撲。

對偶群

若${\displaystyle G}$ 是局部緊緻阿貝爾群，${\displaystyle G}$ 的特徵標是一個從${\displaystyle G}$ 到圓群${\displaystyle \mathbb {T} }$ 的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有${\displaystyle G}$ 上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為${\displaystyle {\hat {G}}}$ 或${\displaystyle G^{\wedge }}$ 。若${\displaystyle G}$ 可分，則${\displaystyle {\hat {G}}}$ 可度量化，對一般的${\displaystyle G}$ 則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於${\displaystyle K}$ 的向量空間${\displaystyle V}$ 有對偶空間${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$ ，對偶群可看成${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$ 。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被${\displaystyle K}$ 及${\displaystyle \mathbb {T} }$ 所表示。

定理：二次對偶${\displaystyle G^{\wedge \wedge }}$ 與${\displaystyle G}$ 有個自然同構。

在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射${\displaystyle G\rightarrow G^{\wedge \wedge }}$ ，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下：

${\displaystyle x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)}$ 。

換言之，我們藉著將一個元素${\displaystyle x\in G}$ 在每個${\displaystyle G}$ 的特徵上求值，得到一個${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的特徵。

例子

在整數對加法形成的無窮循環群${\displaystyle \mathbb {Z} }$  （配上離散拓撲）上，設χ為一特徵，則${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$ ，因此χ決定於χ(1)的值；反之，給定一個${\displaystyle \alpha \in \mathbb {T} }$ ，必存在特徵χ使得χ(1)=α，由此得到群同構${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T} }$ 。此外也容易驗證${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\wedge }}$ 上的緊-開拓撲對應到${\displaystyle \mathbb {T} }$ 誘導自${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的拓撲。

因此，${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 的對偶群自然地同構於${\displaystyle \mathbb {T} }$ 。

反之，${\displaystyle \mathbb {T} }$ 上的特徵皆形如${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ ，其中n是整數。由於${\displaystyle \mathbb {T} }$ 是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的離散拓撲。因此${\displaystyle \mathbb {T} }$ 的對偶群自然地同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。

實數對加法構成的群${\displaystyle \mathbb {R} }$ 同構於自身的對偶群；${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的特徵皆形如${\displaystyle r\mapsto e^{ir}}$ ，其中r是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的古典版本。

傅立葉變換

對於一個局部緊阿貝爾群${\displaystyle G}$ ，傅立葉變換的值域是其對偶群。設${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ，則其傅立葉變換是下述${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的函數：

${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\;d\mu (x)}$ 

其中μ是${\displaystyle G}$ 上的一個哈爾測度。可以證明${\displaystyle {\hat {f}}}$ 是${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的有界連續函數，且在無窮遠處趨近零。同理可給出${\displaystyle g\in L^{1}({\hat {G}})}$ 的傅立葉逆變換

${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\;d\nu (\chi )}$ 

其中ν是${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的一個哈爾測度。

群代數

局部緊阿貝爾群${\displaystyle G}$ 上的可積函數構成一個代數，其乘法由卷積給出：設${\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}$ ，則卷積定義為

${\displaystyle [f\star g](x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)}$ 。

定理：巴拿赫空間${\displaystyle L^{1}(G)}$ 在卷積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作${\displaystyle G}$ 的群代數。根據${\displaystyle L^{1}(G)}$ 的完備性，它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數${\displaystyle L^{1}(G)}$ 一般沒有乘法單位元，除非${\displaystyle G}$ 離散。但它有個近似單位元，這是個網，以一有向集${\displaystyle I}$ 為索引，寫作${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ 並滿足下述性質。

${\displaystyle f\star e_{i}\rightarrow f}$ 。

傅立葉變換將卷積映至逐點乘法，即：

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f\star g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )}$ 。

特別是，對任意${\displaystyle G}$ 上的特徵χ，可在群代數上定義一積性線性泛函

${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi )}$ 。

群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中Loomis著作的第34節。

普朗歇尔暨傅立葉反轉定理

如前所述，一個局部緊阿貝爾群${\displaystyle G}$ 的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。

定理：對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。

${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\rightarrow L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})}$ 

其中${\displaystyle \nu }$ 是對偶群上既取的哈爾測度。

注意到：若${\displaystyle G}$ 非緊，${\displaystyle L^{1}(G)}$ 並不包含${\displaystyle L^{2}(G)}$ ，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。

依循Loomis書中術語，我們稱一對${\displaystyle G}$ 與其對偶群上的哈爾測度${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ 是相繫的，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有${\displaystyle G}$ 上的連續緊支集複數值函數${\displaystyle f}$ 都有

${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}|{\widehat {f}}(\chi )|^{2}\ d\nu (\chi )}$ 

在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

定理：取定一對相繫哈爾測度${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ ；對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制，其伴隨算子是傅立葉逆變換：

${\displaystyle L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\rightarrow L_{\mu }^{2}(G)}$ 

• 在${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ 的情形，我們有${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}}$ ，若取下述相繫的哈爾測度，則回到傅立葉變換的古典定義：

${\displaystyle \mu =(2\pi )^{-n/2}\times }$ （勒貝格測度）

${\displaystyle \nu =(2\pi )^{-n/2}\times }$ （勒貝格測度）

• 在${\displaystyle G=\mathbb {T} }$ 的情形，對偶群${\displaystyle {\hat {G}}}$ 自然同構於${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，而上述算子${\displaystyle F}$ 歸於計算周期函數的傅立葉係數。
• 若${\displaystyle G}$ 為有限群，則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。

玻爾緊化

龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：

定理：一個局部緊阿貝爾群${\displaystyle G}$ 為緊，若且唯若對偶群${\displaystyle {\hat {G}}}$ 為離散。另一方面，${\displaystyle G}$ 為離散若且唯若${\displaystyle {\hat {G}}}$ 為緊。

對任何拓撲群，無論局部緊或交換與否，皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群${\displaystyle G}$ ，考慮拓撲群${\displaystyle {\hat {H}}}$ ，其中${\displaystyle H}$ 就群結構而言是${\displaystyle {\hat {G}}}$ ，但帶離散拓撲。由於下述包含映射

${\displaystyle \iota :H\rightarrow {\widehat {G}}}$ 

是個連續同態，其對偶同態

${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}{\rightarrow }{\widehat {H}}}$ 

是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而${\displaystyle {\hat {H}}}$ 確為${\displaystyle G}$ 的玻爾緊化。

範疇論觀點

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以LCA表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。

對偶群的構造${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$ 給出一個對偶函子${\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\mathrm {op} }}$ 。其二次迭代${\displaystyle G\mapsto G^{\wedge \wedge }}$ 遂給出函子${\displaystyle \mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} }$ 。

定理：對偶函子是一個範疇等價。

定理：對偶函子的二次迭代自然同構於LCA上的恆等函子。

此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。

龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若${\displaystyle R}$ 是一個環，而${\displaystyle G}$ 是個左${\displaystyle R}$ -模，則從對偶性可推知離散左${\displaystyle R}$ -模與緊右${\displaystyle R}$ -模對偶。LCA裡的自同態環${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$ 依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ ，則${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {T} }$ ；前者滿足${\displaystyle \mathrm {End} (G)=\mathbb {Z} }$ ，對後者亦然。

非交換理論

對非交換群${\displaystyle G}$ 沒有類似的理論，因為此時對偶的對象${\displaystyle {\hat {G}}}$ ={${\displaystyle G}$ 的不可約表示之同構類}不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作Tannaka-Krein對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於${\displaystyle {\hat {G}}}$ 上的普朗歇尔測度的問題。

某些非交換群的對偶理論以C*-代數的語言表述。

源流

龐特里亞金在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由E.R. van Kampen（1935年）與安德魯·韋伊（1953年）改進為局部緊阿貝爾群。

文獻

下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。

• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
• Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
• Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
• Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
• Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.