黎曼映射定理

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了${\displaystyle \mathbb {C} }$的單連通開子集。

定理陳述

設${\displaystyle D:=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ 為開圓盤，${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ 為單連通開子集。若${\displaystyle \Omega \neq \mathbb {C} }$ ，則存在一對一的全純映射${\displaystyle f:\Omega \to D}$ ，使${\displaystyle f^{-1}:D\to \Omega }$ 亦全純。換言之，${\displaystyle \Omega }$ 與${\displaystyle D}$  双全純同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從${\displaystyle \Omega }$ 至${\displaystyle D}$ 的全純映射。
• 定理中對${\displaystyle \Omega }$ 的條件極寬鬆；舉例明之，${\displaystyle \Omega }$ 的邊界可能是碎形曲線，但${\displaystyle \Omega }$ 仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
• 此定理對${\displaystyle \pi _{1}(\Omega ,*)=\mathbb {Z} }$ 時即告失效：環型區域（形如${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :r<|z|<R\}}$ ）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
• 此定理在更高維度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於${\displaystyle \mathbb {C} ,D}$ 或${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ 。

证明概要

给定${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle z_{0}}$ ，我们希望构造一个函数${\displaystyle f}$ ，它把${\displaystyle U}$ 映射到单位圆盘，把${\displaystyle z_{0}}$ 映射到${\displaystyle 0}$ 。在这个证明概要中，我们假设${\displaystyle U}$ 是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!}$ 

其中${\displaystyle g=u+iv}$ 是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为${\displaystyle u}$ ，虚数部分为${\displaystyle v}$ 。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于${\displaystyle U}$ 的边界上的${\displaystyle z}$ 有${\displaystyle |f(z)|=1}$ ，因此我们需要在边界上有${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$ 。由于${\displaystyle u}$ 是全纯函数的实数部分，我们知道${\displaystyle u}$ 一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数${\displaystyle u}$ ，对所有的${\displaystyle U}$ 都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数${\displaystyle g}$ 的柯西-黎曼方程便允许了我们求出${\displaystyle v}$ （这个论证依赖于${\displaystyle U}$ 是单连通的假设）。一旦构造了${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ ，我们还需要验证所得到的函数${\displaystyle f}$ 确实满足所有需要的性质。

文獻

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Göttingen, 1851