隐函数, 在數學中, 隱式方程, 英語, implicit, equation, 是形同f, displaystyle, cdots, 的關係, 其中f, displaystyle, 是多元函數, 比如單位圓的隱式方程是x, displaystyle, 隱函数, implicit, function, 是由隱式方程所隱含定義的函數, 比如y, displaystyle, sqrt, 是由x, displaystyle, 確定的函數, 而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数, 也就是通常所说的函数, 如y, . 在數學中 隱式方程 英語 Implicit equation 是形同f x 1 x 2 x n 0 displaystyle f x 1 x 2 cdots x n 0 的關係 其中f displaystyle f 是多元函數 比如單位圓的隱式方程是x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 隱函数 implicit function 是由隱式方程所隱含定義的函數 比如y 1 x 2 displaystyle y sqrt 1 x 2 是由x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 確定的函數 而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数 也就是通常所说的函数 如y cos x displaystyle y cos x 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數 目录 1 例子 1 1 反函数 1 2 代数函数 2 隱函數的导数 2 1 方法一 2 1 1 示例 2 2 方法二 2 2 1 示例 3 參見例子 编辑反函数 编辑 隐函数的一个常见类型是反函数 若f displaystyle f nbsp 是一个函数 那么f displaystyle f nbsp 的反函数记作f 1 displaystyle f 1 nbsp 是给出下面方程解的函数 x f y displaystyle x f y nbsp 用x表示y 这个解是 y f 1 x displaystyle y f 1 x nbsp 直观地 通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数 换一种说法 反函数给出该方程对于y displaystyle y nbsp 的解 R x y x f y 0 displaystyle R x y x f y 0 nbsp 例子 对数函数 ln x displaystyle ln x nbsp 给出方程x e y 0 displaystyle x e y 0 nbsp 或等价的x e y displaystyle x e y nbsp 的解y ln x displaystyle y ln x nbsp 这里f y e y displaystyle f y e y nbsp 并且f 1 x ln x displaystyle f 1 x ln x nbsp 朗伯W函數則可以解出x y e y 0 displaystyle x ye y 0 nbsp 的y displaystyle y nbsp 值 代数函数 编辑 主条目 代数函数 一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数 例如 单变量 x displaystyle x nbsp 的代数函数给出一个方程中 y displaystyle y nbsp 的解 a n x y n a n 1 x y n 1 a 0 x 0 displaystyle a n x y n a n 1 x y n 1 cdots a 0 x 0 nbsp 其中係數 a i x displaystyle a i x nbsp 為 x displaystyle x nbsp 的多項式函數 代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色 我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例 x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 nbsp 那麼 y displaystyle y nbsp 的顯函數解顯然是 y 1 x 2 displaystyle y pm sqrt 1 x 2 nbsp 但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來 它也可以直接利用隱函數來表達 對於y的二次 三次和四次方程 可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程 參見阿贝尔 鲁菲尼定理 例如 y 5 2 y 4 7 y 3 3 y 2 6 y x 0 displaystyle y 5 2y 4 7y 3 3y 2 6y x 0 nbsp 但是 我们仍然可以以隐函数 y g x 的方式来表达 隱函數的导数 编辑隐函数导数的求解一般可以采用以下方法 方法一 编辑 把n元隐函数看作 n 1 元函数 通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数 示例 编辑 把一元隐函数y g x displaystyle y g x nbsp 看作二元函数f x y 0 displaystyle f x y 0 nbsp 若欲求d y d x displaystyle frac dy dx nbsp 對f displaystyle f nbsp 取全微分 可得d f x y f x d x f y d y 0 displaystyle df x y f x dx f y dy 0 nbsp 經過移項可得d y d x f x f y displaystyle frac dy dx frac f x f y nbsp 式中f x displaystyle f x nbsp 表示f x y displaystyle f x y nbsp 關於x displaystyle x nbsp 的偏导数 f x displaystyle frac partial f partial x nbsp 以此類推 把2元隐函数y g x z displaystyle y g x z nbsp 看作3元函数f x y z 0 displaystyle f x y z 0 nbsp 若欲求 y x displaystyle frac partial y partial x nbsp 對f displaystyle f nbsp 取全微分 可得d f x y z f x d x f y d y f z d z 0 displaystyle df x y z f x dx f y dy f z dz 0 nbsp 由於所求為 g x z x displaystyle frac partial g x z partial x nbsp 令z為常數 即d z 0 displaystyle dz 0 nbsp 經過移項可得 y x f x f y displaystyle frac partial y partial x frac f x f y nbsp 方法二 编辑 針對1元隱函數 把y displaystyle y nbsp 看作x displaystyle x nbsp 的函数 利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对x displaystyle x nbsp 求导 再通过移项求得d y d x displaystyle frac dy dx nbsp 的值 針對2元隱函數 把y z displaystyle y z nbsp 看作x displaystyle x nbsp 的函数 利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对x displaystyle x nbsp 求导 令d z 0 displaystyle dz 0 nbsp 再通过移项求得 y x displaystyle frac partial y partial x nbsp 的值 示例 编辑 針對y n displaystyle y n nbsp d d x y n n y n 1 d y d x displaystyle frac d dx y n n cdot y n 1 frac dy dx nbsp 針對x m y n displaystyle x m y n nbsp d d x x m y n n x m y n 1 d y d x m x m 1 y n displaystyle frac d dx x m y n n cdot x m y n 1 frac dy dx m cdot x m 1 y n nbsp 求 12 x 7 7 x 4 y 3 6 x y 5 14 y 6 25 10 displaystyle 12x 7 7x 4 y 3 6xy 5 14y 6 25 10 nbsp 中y對x的導數 為了方便辨別相應的導數部分 各項都以不同顏色分開 常數則以黑色表示 12 x 7 7 x 4 y 3 6 x y 5 14 y 6 25 10 displaystyle color Blue 12x 7 color Red 7x 4 y 3 color Green 6xy 5 color Brown 14y 6 25 10 nbsp 1 兩邊皆取其相應的導數 得出12 7 x 6 7 3 x 4 y 2 d y d x 4 x 3 y 3 6 5 x y 4 d y d x y 5 14 6 y 5 d y d x 0 0 displaystyle color Blue 12 cdot 7x 6 color Red 7 left 3x 4 y 2 frac dy dx 4x 3 y 3 right color Green 6 left 5xy 4 frac dy dx y 5 right color Brown 14 cdot 6y 5 frac dy dx 0 0 nbsp 2 移項處理 84 x 6 28 x 3 y 3 6 y 5 21 x 4 y 2 d y d x 30 x y 4 d y d x 84 y 5 d y d x displaystyle color Blue 84x 6 color Red 28x 3 y 3 color Green 6y 5 color Red 21x 4 y 2 frac dy dx color Green 30xy 4 frac dy dx color Brown 84y 5 frac dy dx nbsp 3 提出導數因子 84 x 6 28 x 3 y 3 6 y 5 21 x 4 y 2 30 x y 4 84 y 5 d y d x displaystyle color Blue 84x 6 color Red 28x 3 y 3 color Green 6y 5 left color Red 21x 4 y 2 color Green 30xy 4 color Brown 84y 5 right left frac dy dx right nbsp 4 移項處理 d y d x 84 x 6 28 x 3 y 3 6 y 5 21 x 4 y 2 30 x y 4 84 y 5 displaystyle frac dy dx frac color Blue 84x 6 color Red 28x 3 y 3 color Green 6y 5 color Red 21x 4 y 2 color Green 30xy 4 color Brown 84y 5 nbsp 5 完成 得出其導數為84 x 6 28 x 3 y 3 6 y 5 21 x 4 y 2 30 x y 4 84 y 5 displaystyle frac 84x 6 28x 3 y 3 6y 5 21x 4 y 2 30xy 4 84y 5 nbsp 6 選擇性步驟 因式分解 d y d x 2 42 x 6 14 x 3 y 3 3 y 5 3 y 2 7 x 4 10 x y 2 28 y 3 displaystyle frac dy dx frac 2 left 42x 6 14x 3 y 3 3y 5 right 3y 2 left 7x 4 10xy 2 28y 3 right nbsp 參見 编辑反函數 取自 https zh wikipedia org w index php title 隐函数 amp oldid 76651772, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,