阿貝爾範疇

在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。

定義

阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。

一個範疇${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 若滿足下述條件，則稱阿貝爾範疇：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是加法範疇。
2. 所有態射皆有核與上核。
3. 所有態射皆為嚴格態射。

只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇。

若取${\displaystyle k}$ 為一交換環，則在上述定義中以k-加法範疇代換加法範疇，便得到k-阿貝爾範疇之定義。

例子

• 如上所述，全體阿貝爾群構成一個阿貝爾範疇Ab，而有限生成阿貝爾群構成的滿子範疇也是阿貝爾範疇，有限阿貝爾群亦同。
• 設${\displaystyle R}$ 為環，則左（或右）${\displaystyle R}$ -模範疇構成一個阿貝爾範疇；根據Mitchell嵌入定理，任何小的阿貝爾範疇皆價於某個${\displaystyle R}$ -模範疇的一個滿子範疇。
• 如果${\displaystyle R}$ 是左諾特環，則有全體有限生成左${\displaystyle R}$ -模構成阿貝爾範疇；這是阿貝爾範疇在交換代數中的主要面貌。
• 由前兩個例子可知：固定一個域或除環，其上的向量空間成一阿貝爾範疇，有限維向量空間亦同。
• 設${\displaystyle X}$ 為拓撲空間，則所有${\displaystyle X}$ 上的（實或複）向量叢構成阿貝爾範疇。
• 承上，固定一個阿貝爾範疇${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，則取值於${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的層與預層都構成阿貝爾範疇。這是阿貝爾範疇在代數幾何中的主要面貌。
• 若${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為小範疇而${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 為阿貝爾範疇，則所有函子${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 構成一個阿貝爾範疇（其態射為自然變換），若更設${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為預加法範疇，則所有加法函子${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 也構成阿貝爾範疇。這在一方面推廣了空間上預層的例子，一方面也函攝了${\displaystyle R}$ -模的例子，因為環可視為僅有單個對象的預加法範疇。
• 拓撲向量空間是預阿貝爾範疇，而非阿貝爾範疇。

基本性質

• 在阿貝爾範疇中，任何態射${\displaystyle f}$ 皆可分解為單射。滿射，其中的滿射稱為${\displaystyle f}$ 的上像，而單射則稱為${\displaystyle f}$ 的像。此性質源自公理中對態射嚴格性的要求。
• 任一態射${\displaystyle f}$ 是單射若且唯若${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)=0}$ ，是滿射若且唯若${\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=0}$ ，是同構若且唯若${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)=0,\mathrm {Coker} (f)=0}$ 。
• 子對象與商對象具良好性質。例如：任一對象的子對象構成的偏序集合是有界格。
• 任一阿貝爾範疇${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 可設想為有限生成阿貝爾群的么半範疇上的模；這意謂著我們能構造一個有限生成阿貝爾群${\displaystyle G}$ 與對象${\displaystyle A}$ 的張量積。
• 承上，阿貝爾範疇也是上模；${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$ 可以詮釋為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的對象。若${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  完備，${\displaystyle G}$ 的有限生成假設可以移除。

相關概念

阿貝爾範疇是同調代數的基本框架，它容許討論同調代數中的基本構造，如正合序列、短正合序列與導函子。

對所有阿貝爾範疇均成立的重要結果包括五引理（含特例短五引理）與蛇引理（含特例九引理）等等。

源流

阿貝爾範疇源於亞歷山大·格羅滕迪克知名的東北論文，該論文發表於1950年代，當時存在兩套不同的上同調理論：群上同調與層上同調，兩者性質相近而定義迥異。格羅滕迪克將兩套理論以阿貝爾範疇上的導函子統合：一者是拓撲空間${\displaystyle X}$ 上的阿貝爾層範疇，一者則是群${\displaystyle G}$ 的${\displaystyle G}$ -模範疇，導出上同調的函子分別是${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ 與${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$ 。

文獻

• P. Freyd. Abelian Categories, Harper and Row, New York, 1964. 可在線閱讀. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Alexandre Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematics Journal, 1957
• Barry Mitchell: Theory of Categories, New York, Academic Press, 1965.
• N. Popescu: Abelian categories with applications to rings and modules, Academic Press, London, 1973.
• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結