角平分线长公式

在數學中，角平分線長公式是已知三角形三條邊的長度時計算內角平分線長度的公式。在三角形${\displaystyle \triangle {ABC}}$中, 若將${\displaystyle \angle A}$的角平分線記為${\displaystyle t_{a}}$, 且將a分為${\displaystyle a_{1}}$、${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle \angle B}$的角平分線記為${\displaystyle t_{b}}$, 且將b分為${\displaystyle b_{1}}$、${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle \angle C}$的角平分線記為${\displaystyle t_{c}}$, 且將c分為${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$, 那麼它們長度可用如下公式計算：

公式1：

${\displaystyle t_{a}=}$${\displaystyle {\frac {2}{b+c}}{\sqrt {bcs(s-a)}}}$,

${\displaystyle t_{b}=}$${\displaystyle {\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}}$,

${\displaystyle t_{c}=}$${\displaystyle {\frac {2}{a+b}}{\sqrt {abs(s-c)}}}$,

其中的${\displaystyle s}$是半周长。

公式2：

${\displaystyle t_{a}=}$${\displaystyle {\sqrt {bc-a_{1}a_{2}}}}$

${\displaystyle t_{b}=}$${\displaystyle {\sqrt {ac-b_{1}b_{2}}}}$

${\displaystyle t_{c}=}$${\displaystyle {\sqrt {ab-c_{1}c_{2}}}}$

推導

 

三角形ABC以及關於角B的平分線

如右圖，設${\displaystyle BE}$ 為${\displaystyle \angle ABC}$ 中${\displaystyle \angle B}$ 的平分線，交邊${\displaystyle AC}$ 于E，則${\displaystyle \angle ABE=\angle EBC}$ ，BE=${\displaystyle BE=t_{b}}$ 。下面證明角平分線長

${\displaystyle t_{b}=}$ ${\displaystyle {\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}}$ 。

首先，${\displaystyle \angle AEB+\angle CEB=180}$ °(互為鄰補角)，因此有 ${\displaystyle \sin \angle AEB=\sin \angle CEB}$ 。

根據正弦定理，在${\displaystyle \bigtriangleup {ABE}}$ 中，${\displaystyle {\frac {\sin \angle ABE}{x}}={\frac {\sin \angle AEB}{c}}}$ ，即${\displaystyle {\frac {\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB}}={\frac {x}{c}}}$ 。同樣地，在${\displaystyle \bigtriangleup BCE}$ 中，${\displaystyle {\frac {\sin \angle CBE}{y}}={\frac {\sin \angle CEB}{a}}}$ ，也就是${\displaystyle {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle CEB}}={\frac {y}{a}}}$ 。 另一方面，${\displaystyle \sin \angle ABE=\sin \angle CBE}$ ，並且${\displaystyle \sin \angle AEB=\sin \angle CEB}$ ，因此得到${\displaystyle {\frac {x}{c}}={\frac {y}{a}}}$ 。 注意到${\displaystyle x+y=b}$ ，代入上式，消去${\displaystyle x}$ 之後就可得到${\displaystyle y={\frac {ab}{c+a}}}$ 。

接下來，在${\displaystyle \bigtriangleup {BCE}}$ 中，根據餘弦定理，有：

${\displaystyle t_{b}^{2}=a^{2}+y^{2}-2ay\cos \angle BCA}$  ....(1)

然而${\displaystyle \cos \angle BCA={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$  ，把${\displaystyle \cos \angle BCA}$ 以及${\displaystyle y}$ 的表達式代入(1)式中，得到

${\displaystyle t_{b}^{2}=a^{2}+({\frac {ab}{c+a}})^{2}-2a({\frac {ab}{c+a}})({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}})}$ 

化簡之後就可以得到角平分線長公式：

${\displaystyle t_{b}^{2}={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(c^{2}+2ca+a^{2}-b^{2})={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(c+a+b)(c+a-b)}$ 

設s為半周長, 即${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ ，則可以將公式寫成

${\displaystyle t_{b}^{2}={\frac {ca}{(c+a)^{2}}}(2s)(2s-2b)}$ 

${\displaystyle t_{b}={\frac {2}{c+a}}{\sqrt {cas(s-b)}}}$ 

同理,可證得其他兩式。

參見

• 三角形
• 角平分線
• 正弦定理
• 餘弦定理
• 中線長公式
• 角平分線定理