中線定理, 此條目没有列出任何参考或来源, 2022年5月10日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 又稱阿波羅尼奧斯定理, 是歐氏幾何的定理, 表述三角形兩邊和中線長度關係, 它等價於平行四邊形恆等式, 目录, 證明, 另一個證法, 中線的向量表達式, 中線的另一條定理, 參見, 编辑對任意三角形, displaystyle, triangle, nbsp, 設i, displaystyle, nbsp, 是線段b, display. 此條目没有列出任何参考或来源 2022年5月10日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 中線定理 又稱阿波羅尼奧斯定理 是歐氏幾何的定理 表述三角形兩邊和中線長度關係 它等價於平行四邊形恆等式 目录 1 中線定理 1 1 證明 1 2 另一個證法 2 中線的向量表達式 3 中線的另一條定理 4 參見中線定理 编辑對任意三角形 A B C displaystyle triangle ABC nbsp 設I displaystyle I nbsp 是線段B C displaystyle overline BC nbsp 的中點 A I displaystyle overline AI nbsp 為中線 則有如下關係 A B 2 A C 2 2 B I 2 2 A I 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 2 overline BI 2 2 overline AI 2 nbsp 證明 编辑 用萊布尼茨標量函數約簡 可以容易導出這性質 只需要在兩個平方中引入I displaystyle I nbsp A B 2 A C 2 A I I B 2 A I I C 2 displaystyle vec AB 2 vec AC 2 left vec AI vec IB right 2 left vec AI vec IC right 2 nbsp 得出 A B 2 A C 2 A I 2 I B 2 2 A I I B A I 2 I C 2 2 A I I C displaystyle vec AB 2 vec AC 2 vec AI 2 vec IB 2 2 vec AI cdot vec IB vec AI 2 vec IC 2 2 overrightarrow AI cdot overrightarrow IC nbsp I displaystyle I nbsp 是B C displaystyle BC nbsp 的中點 因此I B displaystyle overrightarrow IB nbsp 和I C displaystyle overrightarrow IC nbsp 相反 可知式中兩個標積抵消 又因I C I B displaystyle overline IC overline IB nbsp 得出 A B 2 A C 2 2 A I 2 2 I B 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 2 overline AI 2 2 overline IB 2 nbsp 另一個證法 编辑 nbsp 這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法 因為他不知道萊布尼茨函數 證明如下 設H displaystyle H nbsp 是從A displaystyle A nbsp 到B C displaystyle BC nbsp 的垂足 則 B H A displaystyle triangle BHA nbsp 和 A H C displaystyle triangle AHC nbsp 是直角三角形 用勾股定理可得 A B 2 B H 2 A H 2 displaystyle overline AB 2 overline BH 2 overline AH 2 nbsp A C 2 A H 2 H C 2 displaystyle overline AC 2 overline AH 2 overline HC 2 nbsp A I 2 I H 2 A H 2 displaystyle overline AI 2 overline IH 2 overline AH 2 nbsp 所以 A B 2 A C 2 B H 2 2 A H 2 H C 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 overline BH 2 2 overline AH 2 overline HC 2 nbsp 把B H displaystyle BH nbsp 和H C displaystyle HC nbsp 用B I displaystyle BI nbsp 和I H displaystyle IH nbsp 表達出來 記得I displaystyle I nbsp 是B C displaystyle BC nbsp 的中點 因此B I I C displaystyle BI IC nbsp 注意到雖然現在的情形假設H displaystyle H nbsp 在線段B I displaystyle BI nbsp 上 但其 他情形也可以用這個方法 B H B I I H displaystyle overline BH overline BI overline IH nbsp H C I C I H B I I H displaystyle overline HC overline IC overline IH overline BI overline IH nbsp 代入前式 A B 2 A C 2 B I I H 2 2 A H 2 B I I H 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 overline BI overline IH 2 2 overline AH 2 overline BI overline IH 2 nbsp A B 2 A C 2 B I 2 2 B I I H I H 2 2 A H 2 B I 2 2 B I I H I H 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 overline BI 2 2 overline BI cdot overline IH overline IH 2 2 overline AH 2 overline BI 2 2 overline BI cdot overline IH overline IH 2 nbsp A B 2 A C 2 2 B I 2 2 I H 2 2 A H 2 2 B I 2 2 I H 2 A H 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 2 overline BI 2 2 overline IH 2 2 overline AH 2 2 overline BI 2 2 overline IH 2 overline AH 2 nbsp I H A displaystyle triangle IHA nbsp 是直角三角形 H為 A B C displaystyle triangle ABC nbsp 於B C displaystyle overline BC nbsp 之垂足 因此 I H 2 A H 2 A I 2 displaystyle overline IH 2 overline AH 2 overline AI 2 nbsp 代入前式得出 A B 2 A C 2 2 B I 2 2 A I 2 displaystyle overline AB 2 overline AC 2 2 overline BI 2 2 overline AI 2 nbsp 中線的向量表達式 编辑設I displaystyle I nbsp 是線段B C displaystyle BC nbsp 的中點 則有A B A C 2 A I displaystyle vec AB vec AC 2 vec AI nbsp 中線的另一條定理 编辑用標積表示A B 2 A C 2 2 B C I H displaystyle AB 2 AC 2 2 overrightarrow BC cdot overrightarrow IH nbsp 其中H displaystyle H nbsp 是A displaystyle A nbsp 到線B C displaystyle BC nbsp 的垂足 從上得到中線的另一條定理 A B 2 A C 2 2 B C I H displaystyle left AB 2 AC 2 right 2BC times IH nbsp 實際上 A B 2 A C 2 A B A C A B A C 2 A I A B C A 2 A I C B displaystyle AB 2 AC 2 overrightarrow AB overrightarrow AC cdot overrightarrow AB overrightarrow AC 2 overrightarrow AI cdot overrightarrow AB overrightarrow CA 2 overrightarrow AI cdot overrightarrow CB nbsp A I displaystyle overrightarrow AI nbsp 投影在B C displaystyle overrightarrow BC nbsp 上是H I displaystyle overrightarrow HI nbsp 因而有A I C B H I C B B C I H displaystyle overrightarrow AI cdot overrightarrow CB overrightarrow HI cdot overrightarrow CB overrightarrow BC cdot overrightarrow IH nbsp 這兩個共線向量的標積可等於B C I H displaystyle BC times IH nbsp 或其負數 因此取絕對值 參見 编辑閉凸集投影定理 中線定理是這定理的證明關鍵 平行四邊形恆等式 取自 https zh wikipedia org w index php title 中線定理 amp oldid 79570143, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,