对 G 的线性表示,由一个完全类似的定义。具体地说,如果 X 与 Y 是 G 的两个线性表示的表示空间,则一个线性映射f : X → Y 称为这个表示的一个交结映射(intertinig map 或 intertwiner)如果它与 G 的作用交换。从而一个交结算子是两个线性表示/作用时等变映射的特例。
或者,G 在域K 上表示的交结映射与 K[G]-模的一个模同态是同一个东西,这里 K[G]是 G 的群环。
在某些情形,如果 X 与 Y 都是不可约表示,则一个交结映射(若不是零映射)只有两个表示等价(即作为模是同构的)时才存在。这样的交结映射除了差一个乘法因子(K 中一个非零标量)是惟一的。这些性质当 K[G] 的像是具有中心 K d的单代数时成立(由所谓的舒尔引理:参见单模)。作为一个推论,在一些重要情形构造一个交结映射足够证明表示同样是有效的。
范畴描述
等变映射可以直截了当地推广到任意范畴。任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴(这个范畴中的态射就是 G 的元素)。给定任意范畴 C,在这个范畴 C 中 G 的一个表示是从 G 到 C 的一个函子。这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群。例如,一个 G-几何等价于从 G 到集合范畴Set 的一个函子,而线性表示等价于到一个域 K 上的向量空间范畴 VectK 的一个函子。
给定 G 在 C 中两个表示, ρ 和 σ,这两个表示之间一个等变映射不过是从 ρ 到 σ 的一个自然变换。把自然变换做为态射,我们可以构造 G 在 C 中所有表示的范畴。这恰是函子范畴CG。
另一个例子,取 C = Top拓扑空间范畴。G 在 Top 中一个表示是一个拓扑空间,G连续作用它上面。则等变映射是表示之间的一个连续映射 f : X → Y,且与 G 的作用交换。
二月 05, 2023
等变映射, 在数学中, 一个, equivariant, 是两个集合之间与群作用交换的一个函数, 具体地, 是一个群, 是两个关联的, 集合, 一个函数, 称为等变, 如果, 对所有, 成立, 注意如果其中一个或两个作用是右作用, 则等变条件必须适当地修改, 集合范畴, 对一个取定的, 中的同态, 从而它们也称为, 映射或, 同态, 集合的同构就是等变双射, 等变条件也能理解为下面的交换图表, 注意, displaystyle, cdot, 表示映射取元素, displaystyle, 得到, displaysty. 在数学中 一个等变映射 equivariant map 是两个集合之间与群作用交换的一个函数 具体地 设 G 是一个群 X 与 Y 是两个关联的 G 集合 一个函数 f X Y 称为等变 如果 f g x g f x 对所有 g G 与 x X 成立 注意如果其中一个或两个作用是右作用 则等变条件必须适当地修改 f x g f x g 右 右 f x g g 1 f x 右 左 f g x f x g 1 左 右 等变映射是 G 集合范畴 对一个取定的 G 中的同态 从而它们也称为 G 映射或 G 同态 G 集合的同构就是等变双射 等变条件也能理解为下面的交换图表 注意 g displaystyle g cdot 表示映射取元素 z displaystyle z 得到 g z displaystyle g cdot z 交结映射 编辑对 G 的线性表示 由一个完全类似的定义 具体地说 如果 X 与 Y 是 G 的两个线性表示的表示空间 则一个线性映射 f X Y 称为这个表示的一个交结映射 intertinig map 或 intertwiner 如果它与 G 的作用交换 从而一个交结算子是两个线性表示 作用时等变映射的特例 或者 G 在域 K 上表示的交结映射与 K G 模的一个模同态是同一个东西 这里 K G 是 G 的群环 在某些情形 如果 X 与 Y 都是不可约表示 则一个交结映射 若不是零映射 只有两个表示等价 即作为模是同构的 时才存在 这样的交结映射除了差一个乘法因子 K 中一个非零标量 是惟一的 这些性质当 K G 的像是具有中心 K d的单代数时成立 由所谓的舒尔引理 参见单模 作为一个推论 在一些重要情形构造一个交结映射足够证明表示同样是有效的 范畴描述 编辑等变映射可以直截了当地推广到任意范畴 任何群 G 可以视为一个具有一个对象的范畴 这个范畴中的态射就是 G 的元素 给定任意范畴 C 在这个范畴 C 中 G 的一个表示是从 G 到 C 的一个函子 这样一个函子选出 C 的一个对象和这个对象的自同构的一个子群 例如 一个 G 几何等价于从 G 到集合范畴 Set 的一个函子 而线性表示等价于到一个域 K 上的向量空间范畴 VectK 的一个函子 给定 G 在 C 中两个表示 r 和 s 这两个表示之间一个等变映射不过是从 r 到 s 的一个自然变换 把自然变换做为态射 我们可以构造 G 在 C 中所有表示的范畴 这恰是函子范畴 CG 另一个例子 取 C Top 拓扑空间范畴 G 在 Top 中一个表示是一个拓扑空间 G 连续作用它上面 则等变映射是表示之间的一个连续映射 f X Y 且与 G 的作用交换 取自 https zh wikipedia org w index php title 等变映射 amp oldid 74497622, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,