等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數${\displaystyle f,g}$的等化子，是方程${\displaystyle f(x)=g(x)}$的解集（英语：solution set）。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的核（英语：Kernel (category theory)）。

定義

設${\displaystyle X}$ 與${\displaystyle Y}$ 為集合。又設${\displaystyle f,g}$ 為從${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle Y}$ 的函數。則${\displaystyle f}$ 與${\displaystyle g}$ 的等化子為${\displaystyle X}$ 中所有滿足${\displaystyle f(x)=g(x)}$ 的元素${\displaystyle x}$ 的集合，以符號表示為：

${\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.}$ 

等化子可以表示成${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)}$ 或類似的符號，如改成小楷${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 。有時非正式地寫成${\displaystyle \{f=g\}}$ 。

上述定義用到兩個函數${\displaystyle f,g}$ ，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是一族函數，從${\displaystyle X}$ 映向${\displaystyle Y}$ ，則${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的元素的等化子，是使${\displaystyle f(x)}$ 對所有${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ 皆相等的元素${\displaystyle x\in X}$ 的集合。以符號表示：

${\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.}$ 

若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 可以寫成${\displaystyle \{f,g,h,\ldots \}}$ ，則等化子亦記為${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )}$ 。此情況下，亦可非正式地寫成${\displaystyle \{f=g=h=\cdots \}}$ 。

作為一般定義的退化，考慮${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 為單元集${\displaystyle \{f\}}$ 。由於${\displaystyle f(x)}$ 必然等於自己，等化子等於整個定義域${\displaystyle X}$ 。更退化的情況下，設${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 為空集。則等化子仍為全個定義域${\displaystyle X}$ ，因為條件的全稱量化命題為空真命題（英语：vacuously true）。

差核

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（英語：difference kernel）。${\displaystyle f,g}$ 的差核可以記為${\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)}$ 、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)}$ 、${\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)}$ 。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數${\displaystyle f}$ 的核，可以作為差核${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})}$ 找到，其中${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ 表示取零值的常數函數。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，${\displaystyle 0}$ 的原像，但在範疇論定義中，並不一定。

範疇論

等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。

一般地，在任意範疇中，設${\displaystyle X,Y}$ 為物件，而${\displaystyle f,g}$ 為自${\displaystyle X}$ 往${\displaystyle Y}$ 的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而${\displaystyle f,g}$ 的等化子，則是該圖表的極限。

具體而言，等化子是物件${\displaystyle E}$ 與態射${\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X}$ 的整體，滿足${\displaystyle f\circ eq=g\circ eq}$ ，且對任意物件${\displaystyle O}$ 與態射${\displaystyle m:O\to X}$ ，若有${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$ ，則存在唯一的態射${\displaystyle u:O\to E}$ ，使得${\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m}$ 。

 

其中態射${\displaystyle m:O\rightarrow X}$ 滿足的條件，即${\displaystyle f\circ m=g\circ m}$ ，又稱為等化（英語：equalise）${\displaystyle f}$ 與 ${\displaystyle g}$ 。^[1]

在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ，物件${\displaystyle E}$ 總可以按原始定義（即${\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\}}$ ）選取，而相應的態射${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 則是${\displaystyle E}$ 作為${\displaystyle X}$ 子集的包含映射。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而${\displaystyle \mathrm {eq} }$ 可以取為任何由${\displaystyle E}$ 至${\displaystyle X}$ 的同構。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ ，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 的範疇論積，而非所求的等化子（應為${\displaystyle X}$ ）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域${\displaystyle X}$ 密切相關（例如在集合範疇的情況下，${\displaystyle X}$ 出現在定義式中），但與${\displaystyle Y}$ 的關聯則僅在於${\displaystyle Y}$ 是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則${\displaystyle Y}$ 不必出現，故圖僅有${\displaystyle X}$ 。此圖的極限，是任何${\displaystyle E}$ 與${\displaystyle X}$ 間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備（英语：complete category），則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇（英语：Category of abelian groups）上濃縮（英语：enriched category）的範疇，粗略而言，即每個態射集${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$ 皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即${\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)}$ ，其中${\displaystyle \mathrm {Ker} }$ 表示範疇論核（英语：kernel (category theory)）。

若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。

參見

• 餘等化子（英语：Coequalizer），等化子的對偶（英语：dual (category theory)）概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
• 重合理論（英语：Coincidence theory），不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。
• 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。

參考文獻

1. Barr, Michael; Wells, Charles. (PDF). 1998: 266 [2013-07-20]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04） （英语）. 

外部鏈結

• nLab的Equalizer條目

• ，給出有限集範疇中的等化子例子。由編寫。