科恩-麥考利環

在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。

此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（Francis Sowerby Macaulay）與欧文·索尔·科恩（Irvin S. Cohen） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。

形式定義

若交換局部環 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$  滿足 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{\mathfrak {m}}(R)=\dim R}$ ，其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数，則稱之為Cohen-Macaulay環。此性質在局部化之下不變。

一般而言，若交換環 ${\displaystyle R}$  對所有素理想的局部化皆為Cohen-Macaulay環，則稱之為Cohen-Macaulay 環。

若一個概形的所有局部環皆為Cohen-Macaulay環，稱之為Cohen-Macaulay概形。

例子

• 正則局部環皆為 Cohen-Macaulay 環。
• Gorenstein環皆為 Cohen-Macaulay，其中重要的特例是完全交環。
• 有理奇點對應到 Cohen-Macaulay 環，卻不一定是 Gorenstein 環。
• 阿廷環皆為 Cohen-Macaulay 環。
• 設 ${\displaystyle k}$  為域，冪級數環 ${\displaystyle k[[t]]}$  的一維子環 ${\displaystyle k[[t^{2},t^{5}]]}$  並非正則環，而仍屬 Gorenstein 環。
• 承上，${\displaystyle k[[t^{3},t^{4},t^{5}]]}$  並非 Gorenstein 環，而仍屬 Cohen-Macaulay 環。
• 一般而言，任何一維的諾特整環都是 Cohen-Macaulay 環。

幾何詮釋

Cohen-Macaulay 條件的一種詮釋見諸凝聚對偶性，其中模的「對偶化對象」本屬於某個導範疇，當考慮的環是 Cohen-Macaulay 環時，該對象可由某個模代表。Gorenstein 條件則更精細，它斷言此對偶對象由可逆層代表。正則性最強，它對應於交換環譜在該點的平滑性。就幾何觀點，Gorenstein 與 Cohen-Macaulay 條件是平滑性的逐步推廣，在此框架下可以證明較廣的幾何定理。

純粹性定理

設 ${\displaystyle R}$  為諾特環，${\displaystyle I\subset R}$  為其理想。若對每個 ${\displaystyle R/I}$  的相伴素理想 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  皆有 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)=\mathrm {ht} ({\mathfrak {p}})}$ ，則稱 ${\displaystyle I}$  為純粹的。若每個能由 ${\displaystyle \mathrm {ht} (I)}$  個元素生成之理想 ${\displaystyle I}$  都是純粹的，則稱 ${\displaystyle R}$  滿足純粹性定理。一個諾特環 ${\displaystyle R}$  滿足純粹性定理若且唯若它是 Cohen-Macaulay 環。

文獻

• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings Trans. Amer. Math. Soc. , 59 (1946) pp. 54–106
• V.I. Danilov, Cohen-Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer), ISBN 0-387-94268-8 (hardcover), ISBN 0-387-94269-6 (soft cover)
• F.S. Macaulay, The algebraic theory of modular systems , Cambridge Univ. Press (1916)

外部連結

• V.I. Danilov, Cohen–Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• MathWorld 頁面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）